(i) Partindo da equação (8.1.9) na forma \Phi(q, p, t)=F_{1}(q, Q(q, p, t), t), prove que \partial \Phi / \partial t=-\sum_{i} P_{i} \partial Q_{i} / \partial t+\partial F_{1} / \partial t. (ii) Usando d \Phi(q, p, t)=\left.d \Phi(q, p, t)\right|_{t \text { fixo }}+ (\partial \Phi / \partial t) d t e uma equação análoga para d Q_{i}(q, p, t), mostre que se (8.2.1) vale então (8.1.8) é satisfeita para t variável, com K(Q, P, t) definida por (8.1.11).

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação canônica gerada pelo potencial F_{1}(q,Q,t), cujas condições canônicas (equação ( 8.1. 8)) são
p_i \;=\;\frac{\partial F_{1}}{\partial q_i}, \qquad P_i \;=\;-\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_i}
e cujo novo Hamiltoniano K(Q,P,t) é definido pela equação ( 8.1. 11)
K(Q,P,t)\;=\;H(q,p,t)\;+\;\frac{\partial F_{1}}{\partial t}\,.
Além disso, na equação ( 8.1. 9) introduzimos a função
\Phi(q,p,t)\;=\;F_{1}\bigl(q,\;Q(q,p,t),\;t\bigr),
isto é, F_{1} escrito em função de (q,p,t) via a inversão Q=Q(q,p,t).
Queremos então:
(i) mostrar que
\frac{\partial \Phi}{\partial t} \;=\; -\,\sum_{i}P_{i}\,\frac{\partial Q_{i}}{\partial t} \;+\; \frac{\partial F_{1}}{\partial t}\,,
usando apenas regra de cadeia e \partial F_{1}/\partial Q_i=-P_i;
(ii) usar o diferencial total de \Phi e de Q_i e a relação de uma forma diferencial estendida (equação ( 8.2. 1))
\sum_i p_i\,dq_i\;-\;H\,dt \;=\; \sum_i P_i\,dQ_i\;-\;K\,dt \;+\; dF_{1},
para recuperar as condições canônicas ( 8.1. 8) mesmo quando t varia.

Passo 2

Para (i), calculemos \partial\Phi/\partial t mantendo (q,p) fixos. Pela regra de cadeia,
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \sum_{i}\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}\, \frac{\partial Q_{i}}{\partial t} \;+\; \frac{\partial F_{1}}{\partial t}.
Mas pelas condições canônicas ( 8.1. 8) vale \partial F_{1}/\partial Q_{i}=-P_{i}. Logo
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \sum_{i}\bigl(-P_{i}\bigr)\,\frac{\partial Q_{i}}{\partial t} \;+\; \frac{\partial F_{1}}{\partial t} \;=\; -\,\sum_{i}P_{i}\,\frac{\partial Q_{i}}{\partial t} \;+\; \frac{\partial F_{1}}{\partial t},
que era o desejado.

Passo 3

Para (ii), escrevemos primeiro os diferenciais totais, separando a parte em que t varia:
d\Phi(q,p,t) = \bigl.d\Phi\bigr|_{t\text{ fixo}} \;+\; \frac{\partial \Phi}{\partial t}\,dt,
dQ_{i}(q,p,t) = \bigl.dQ_{i}\bigr|_{t\text{ fixo}} \;+\; \frac{\partial Q_{i}}{\partial t}\,dt.
Também expandimos
dF_{1}(q,Q,t) = \sum_{i}\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}\,dq_{i} \;+\; \sum_{i}\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}\,dQ_{i} \;+\; \frac{\partial F_{1}}{\partial t}\,dt.
Agora inserimos tudo na equação estendida ( 8.2. 1):
\sum_{i}p_{i}\,dq_{i}-H\,dt = \sum_{i}P_{i}\,dQ_{i}-K\,dt + \sum_{i}\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}\,dq_{i} +\sum_{i}\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}\,dQ_{i} +\frac{\partial F_{1}}{\partial t}\,dt.
Como \partial F_{1}/\partial Q_{i}=-P_{i}, os termos em P_{i}\,dQ_{i} se cancelam, restando
\sum_{i}p_{i}\,dq_{i}-H\,dt = \sum_{i}\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}\,dq_{i} \;-\;K\,dt \;+\;\frac{\partial F_{1}}{\partial t}\,dt.
Agrupando termos em dq_{i} e em dt, obtemos
\sum_{i}\bigl(p_{i}-\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}\bigr)\,dq_{i} \;+\; \bigl(-H+\,\frac{\partial F_{1}}{\partial t}-K\bigr)\,dt \;=\;0.
Como \{dq_{i},dt\} são independentes, segue
p_{i}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}} \quad\text{e}\quad K=H+\frac{\partial F_{1}}{\partial t},
que são exatamente as equações canônicas ( 8.1. 8) estendidas ao caso t variável e a definição ( 8.1. 11) de K.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\sum_{i}P_{i}\,\frac{\partial Q_{i}}{\partial t}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}.
(ii) Da expansão em diferenciais na equação ( 8.2. 1) obtém-se \;p_{i}=\partial F_{1}/\partial q_{i}\; e \;K=H+\partial F_{1}/\partial t,
isto é, as condições canônicas ( 8.1. 8) válidas para t variável, com K dado por ( 8.1. 11).

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