(i) Partindo da equação (8.1.9) na forma \Phi(q, p, t)=F_{1}(q, Q(q, p, t), t), prove que \partial \Phi / \partial t=-\sum_{i} P_{i} \partial Q_{i} / \partial t+\partial F_{1} / \partial t. (ii) Usando d \Phi(q, p, t)=\left.d \Phi(q, p, t)\right|_{t \text { fixo }}+(\partial \Phi / \partial t) d t e uma equação análoga para d Q_{i}(q, p, t), mostre que se (8.2.1) vale então (8.1.8) é satisfeita para t variável, com K(Q, P, t) definida por (8.1.11).
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação canônica gerada pelo potencial F_{1}(q,Q,t), cujas condições canônicas (equação (8.1.8)) são
usando apenas regra de cadeia e \partial F_{1}/\partial Q_i=-P_i;
(ii) usar o diferencial total de \Phi e de Q_i e a relação de uma forma diferencial estendida (equação (8.2.1))
que são exatamente as equações canônicas (8.1.8) estendidas ao caso t variável e a definição (8.1.11) de K.
Resposta
(i) \displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\sum_{i}P_{i}\,\frac{\partial Q_{i}}{\partial t}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}.
(ii) Da expansão em diferenciais na equação (8.2.1) obtém-se \;p_{i}=\partial F_{1}/\partial q_{i}\; e \;K=H+\partial F_{1}/\partial t,
isto é, as condições canônicas (8.1.8) válidas para t variável, com K dado por (8.1.11).