Um certo sistema mola-massa satisfaz ao problema de valor inicial u^prime prime+4 u^prime+u=k g(t), u(0)=0, u^prime(0)=0, onde g(t)=u32(t)-u52(t) e k>0 é um parâmetro.
Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
u''(t) + 4u'(t) + u(t) ;=; kl(u32(t)-u52(t)r) ,, u(0)=0,;u'(0)=0,
onde ua(t)=H(t-a) é o degrau de Heaviside deslocado.
O conteúdo é resolução de EDO linear com forçamento em degraus, e vamos usar a transformada de Laplace e o teorema do atraso.

Passo 2

Tomando Laplace, com U(s)= Lu(t), temos
s^2U(s)+4sU(s)+U(s) ;=; kl(e^-32ss-e^-52ssr)
pois u(0)=u'(0)=0. Assim
U(s) = k;e^-tfrac32s-e^-tfrac52ssl(s^2+4s+1r)

Passo 3

Fazemos fração parcial em
1s(s^2+4s+1) ;=; 1s-s+4s^2+4s+1
Nota que s^2+4s+1=(s+2)^2-3, e
L^-1ls+4s^2+4s+1r =e^-2tl(cosh(raiz3,t)+tfrac2raiz3sinh(raiz3,t)r)
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L^-1l1s(s^2+4s+1)r =1-e^-2tl(cosh(raiz3,t)+tfrac2raiz3sinh(raiz3,t)r) ;=;R(t)

Passo 4

Pela regra do deslocamento,
L^-1e^-asF(s)=f(t-a)H(t-a). Então
u(t) = kl[R(t-tfrac32),H(t-tfrac32);-;R(t-tfrac52),H(t-tfrac52)r]

Resposta

u(t) = kl[ 1-e^-2l(t-tfrac32r)l(cosh!l(raiz3,(t-tfrac32)r) +tfrac2raiz3sinh!l(raiz3,(t-tfrac32)r)r) r]H!l(t-tfrac32r)
-,kl[ 1-e^-2l(t-tfrac52r)l(cosh!l(raiz3,(t-tfrac52)r) +tfrac2raiz3sinh!l(raiz3,(t-tfrac52)r)r) r]H!l(t-tfrac52r)

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