Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido.
A cunha do primeiro octante seccionada do cilindro y^2+z^2 <= 1 pelos planos y=x e x=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante definido pelo cilindro
y^2+z^2<=1
e pelos planos ,x=0 e ,y=x.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas na secção transversal yz para simplificar a integração.

Passo 2

Descrevemos a região de integração em coordenadas cartesianas (x,y,z):
0 <= x <= y, y^2+z^2<=1, x>=0,;y>=0,;z>=0

Passo 3

Para aproveitar a simetria do cilindro em torno do eixo x, introduzimos coordenadas cilíndricas na seção yz:
y = rcostheta, z = rsintheta,
com r>=0, theta variando entre 0 e tfracpi2 (primeiro quadrante em yz), e jacobiano r. Assim o volume fica
V = integraltheta=0^pi/2 integralr=0^1 integralx=0^,rcostheta r ,dx,dr,dtheta

Passo 4

Integramos em x primeiro:
integralx=0^,rcostheta r,dx = r l[xr]0^rcostheta = rcdot (rcostheta) = r^2costheta
Então
V = integral0^pi/2!!integral0^1 r^2costheta ;dr,dtheta

Passo 5

Separamos a integral:
integral0^1 r^2,dr = 13, integral0^pi/2costheta,dtheta = l[sinthetar]0^pi/2 = 1
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V = 13times1 = 13

Resposta

O volume do sólido é 13.

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