Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido.
A cunha do primeiro octante seccionada do cilindro
pelos planos
e
.
A cunha do primeiro octante seccionada do cilindro
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante definido pelo cilindro
e pelos planos
e
.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas na secção transversal para simplificar a integração.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas na secção transversal
Passo 2
Descrevemos a região de integração em coordenadas cartesianas
:
Passo 3
Para aproveitar a simetria do cilindro em torno do eixo
, introduzimos coordenadas cilíndricas na seção
:
com
,
variando entre
e
(primeiro quadrante em
), e jacobiano
. Assim o volume fica
Passo 4
Integramos em
primeiro:
Então
Passo 5
Separamos a integral:
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Resposta
O volume do sólido é
.