Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um corte por 2000 pés. Qual é a probabilidade de que um rolo com comprimento de 4000 pés apresente no máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que, em média, ocorre 1 corte a cada 2000 pés de fita. Queremos saber, num rolo de 4000 pés, qual a chance de ter no máximo 2 cortes e qual a chance de ter pelo menos 2 cortes.
Conteúdo: distribuição de Poisson (usada quando eventos raros aparecem em um intervalo contínuo).
O que vamos precisar:
  • Calcular o parâmetro P(X=k)=e^-lambda,lambda^kk! da Poisson (média de cortes no intervalo de 4000 pés).
  • Usar a fórmula da Poisson

Passo 2

Primeiro, a gente achar lambda = 4000 times 1;corte2000;pés = 2;cortes . Como é 1 corte por 2000 pés, em 4000 pés a média é
é
Logo, .

Passo 3

Queremos P(X<=2) = sumk=0^2 e^-2,2^kk! = e^-2l(tfrac2^00! + tfrac2^11! + tfrac2^22!r) = e^-2(1 + 2 + 2) = 5,e^-2 , ou seja a soma de P(X<=2)approx 5 times 0,1353 = 0,6767 :
Numericamente, como ,

Passo 4

Agora P(X>=2)=1 - P(X<=1) =1 - l[P(0)+P(1)r] =1 - e^-2l(tfrac2^00! + tfrac2^11!r) =1 - e^-2(1+2) =1 - 3,e^-2 . Dá pra calcular direto somando de 2 até infinito, mas é mais fácil usar o complemento de P(X>=2)approx 1 - 3times0,1353 = 1 - 0,4059 = 0,5941 :
Em valor,

Resposta

  • Probabilidade de no máximo 2 cortes:
  • Probabilidade de pelo menos 2 cortes:

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