Um certo tipo de peca é vendida pelo fabricante em caixas de 50 itens, dos quais 4 são defeituosos. Para efeito de verificação da qualidade do produto é feita a inspeção ou verificação de conformidade de 4 itens selecionados um após o outro de algumas dessas caixas, sem reposição/ devolução dos itens a essas caixas.
[4] Calcule a distribuição de probabilidades do número de itens defeituosos na amostra selecionada. Faca o gráfico dessa distribuição.
[4] Calcule a distribuição de probabilidades do número de itens defeituosos na amostra selecionada. Faca o gráfico dessa distribuição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade e qualidade de produtos. Você tem caixas com 50 peças, sendo 4 defeituosas. Queremos saber a probabilidade de encontrar 0, 1, 2, 3 ou 4 peças defeituosas quando selecionamos 4 peças sem colocar de volta na caixa. Para resolver isso, vamos usar a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações de amostragem sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição hipergeométrica. Ela calcula a probabilidade de obter exatamente k sucessos (no nosso caso, peças defeituosas) em n tentativas (as 4 peças que vamos selecionar), sem reposição, de um total de N itens que contêm K sucessos (as 4 peças defeituosas na caixa de 50).
A fórmula é:
Onde:
- $ N = 50 $ (total de peças)
- $ K = 4 $ (peças defeituosas)
- $ n = 4 $ (peças selecionadas)
- $ k $ varia de 0 a 4 (número de defeituosas na amostra)
Passo 3
Vamos calcular $ \dbinom{N}{n} $ primeiro, que é o número total de formas de escolher 4 peças de 50:
Passo 4
Agora, vamos calcular para cada valor de $ k $ de 0 a 4:
Para $ k = 0 $: Nenhuma peça defeituosa na amostra.
Para $ k = 1 $: Uma peça defeituosa na amostra.
Para $ k = 2 $: Duas peças defeituosas na amostra.
Para $ k = 3 $: Três peças defeituosas na amostra.
Para $ k = 4 $: Quatro peças defeituosas na amostra.
Passo 5
Agora, resumindo as probabilidades:
- $ P(X = 0) \approx 64,7% $
- $ P(X = 1) \approx 26,4% $
- $ P(X = 2) \approx 2,7% $
- $ P(X = 3) \approx 0,1% $
- $ P(X = 4) \approx 0,00043% $
Para o gráfico, você pode representar essas probabilidades em barras, com o número de defeituosos no eixo x (0 a 4) e a probabilidade no eixo y. A barra mais alta estará em 0 defeituosos, seguindo decrescendo até 4.
Resposta
A distribuição de probabilidades do número de itens defeituosos na amostra de 4 peças é aproximadamente:
- 0 defeituosos: 64,7%
- 1 defeituoso: 26,4%
- 2 defeituosos: 2,7%
- 3 defeituosos: 0,1%
- 4 defeituosos: 0,00043%