A superfície de um fio metálico produzido industrialmente apresenta deformacoes. O controle da qualidade do processo de produção do fio monitora a v.a. X: Contagem de deformacoes aceitáveis tem Distribuição de Poisson com taxa de 2.0 dessas deformacoes para cada 20 metros lineares desse fio,
[9] (a) Calcule a probabilidade de não ter mais deformações aceitáveis do que as esperadas em um rolo qualquer de 20 mt ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio metálico que pode apresentar deformações aceitáveis, e a quantidade dessas deformações em 20 metros segue uma Distribuição de Poisson com taxa (λ) igual a 2.0. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de não haver mais deformações aceitáveis do que o esperado, ou seja, queremos saber a probabilidade de ter no máximo 2 deformações em um rolo de 20 metros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente uns dos outros. A fórmula da Probabilidade de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência dos eventos.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

No nosso caso, a taxa $ \lambda $ é 2.0 para 20 metros. Queremos calcular a probabilidade de ter no máximo 2 deformações, ou seja, $ P(X \leq 2) $. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1 ou 2 deformações:
lambda

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Distribuição de Poisson.
  1. Probabilidade de 0 deformações ($ k = 0 $):
k = 0
  1. Probabilidade de 1 deformação ($ k = 1 $):
P(X = 0) = 2^0 cdot e^-20! = 1 cdot e^-21 = e^-2 approx 0,1353
  1. Probabilidade de 2 deformações ($ k = 2 $):
k = 1

Passo 5

Agora, somamos as três probabilidades calculadas:
P(X <= 2) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767

Resposta

A probabilidade de não haver mais deformações aceitáveis do que as esperadas em um rolo de 20 metros é aproximadamente 67,67%.

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