Sabe-se que uma determinada moeda viciada é tal que a probabilidade de resultar cara em um lançamento qualquer é de 3/4. Um experimento consiste em lançar essa moeda 4 vezes. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras.
Calcule P(X=3).

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo uma moeda viciada. Neste caso, a moeda tem 3/4 de chance de dar “cara” em cada lançamento. O experimento consiste em lançar essa moeda 4 vezes, e queremos calcular a probabilidade de obter exatamente 3 “caras”. Para isso, vamos usar o conceito de distribuição binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades em experimentos com duas possíveis saídas (como cara ou coroa) repetidos várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ (1-p) $ é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.

Passo 3

No nosso problema, temos:
  • $ n = 4 $ (número de lançamentos)
  • $ k = 3 $ (número de “caras” que queremos)
  • $ p = \frac{3}{4} $ (probabilidade de dar “cara” em um lançamento)
Vamos substituir esses valores na fórmula:
n = 4

Passo 4

Calculando cada parte:
  • $ \binom{4}{3} = 4 $ (há 4 maneiras de escolher qual dos 4 lançamentos será a “coroa”)
  • $ \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} $
  • $ \left(\frac{1}{4}\right)^1 = \frac{1}{4} $
Agora, multiplicamos esses valores:
binom43 = 4

Passo 5

Simplificando a fração:
108256 = 2764 approx 0,421875

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 3 “caras” em 4 lançamentos é aproximadamente 0,4219 ou 42,19%.

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