Para o controle de qualidade do processo de fabricação de um certo tipo de peca, 4 pecas são selecionadas uma após a outra, aleatória e periodicamente, e sem reposição dos itens ao lote. A proporção de pecas defeituosas nesse processo é de 0.04.
[7] Calcule E(X)=mu : Valor Esperado (Media) e V(X)=sigma^2 : Valor da Variância de X.
Note que para uma v.a. X com distribuição discreta de probabilidades: E(X)=mu=sum x cdot p(x); V(X)=mu=sum(x-mu)^2 cdot p(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de fabricação onde a proporção de peças defeituosas é de 0,04 (ou seja, 4%). Queremos calcular o Valor Esperado (Média), representado por $ E(X) = \mu $, e a Variância, representada por $ V(X) = \sigma^{2} $, da variável aleatória $ X $. Aqui, $ X $ representa o número de peças defeituosas em uma amostra de 4 peças selecionadas sem reposição.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades e distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição hipergeométrica, já que estamos retirando peças sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é o Valor Esperado $ E(X) $. Ele representa a média do número de peças defeituosas que esperamos encontrar na amostra de 4 peças. A fórmula para o valor esperado em uma distribuição hipergeométrica é:
E(X)
Onde:
  • $ n $ é o número de peças selecionadas (nesse caso, 4).
  • $ K $ é o número total de peças defeituosas no lote.
  • $ N $ é o tamanho total do lote.
Mas como não temos $ K $ e $ N $, podemos relacionar a proporção de peças defeituosas $ p = 0,04 $ com o valor esperado. Nesse caso, podemos simplificar para:
E(X) = n cdot KN

Passo 3

Aplicando os valores que temos:
E(X) = 4 cdot 0,04 = 0,16
Isso significa que, em média, esperamos encontrar 0,16 peças defeituosas em uma amostra de 4 peças.

Passo 4

Agora, vamos calcular a Variância $ V(X) $. A variância nos diz o quanto os valores de $ X $ estão dispersos em torno da média. Para uma distribuição hipergeométrica, a fórmula da variância é:
V(X)
Novamente, usando a proporção de defeituosas $ p = 0,04 $:
X
Sem o valor de $ N $, assumimos que o lote é suficientemente grande, então a fração $ \frac{N - 4}{N - 1} $ aproximadamente vale 1. Assim, simplificamos para:
V(X) = n cdot KN cdot (1 - KN) cdot N - nN - 1

Passo 5

Calculando a variância:
V(X) approx 4 cdot 0,04 cdot 0,96 = 0,1536

Resposta

O Valor Esperado $ E(X) $ é 0,16 e a Variância $ V(X) $ é 0,1536.

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