Certo tipo de pneu dura, em média, 50.000 km . O fabricante investiu em uma nova composição de borracha para pneus. Vinte pneus, fabricados com essa nova composição, duraram, em média, 55.000 km , com desvio padrão de 4.000 km . Supondo que a durabilidade dos pneus segue uma distribuição aproximadamente normal, verificar se os dados provam que os novos pneus são mais duráveis. Use alpha=1 %.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. A gente sabe que um tipo certo de pneu dura em média 50.000 km. O fabricante criou uma nova composição de borracha e quer saber se essa mudança realmente faz os pneus durarem mais. Para isso, ele testou 20 pneus novos, que, em média, duraram 55.000 km, com um desvio padrão de 4.000 km. A gente vai usar Estatística Inferencial, mais especificamente o teste de hipóteses, para verificar se essa diferença é significativa usando um nível de confiança de 99% (α = 1%).

Passo 2

Vamos formular as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A média de durabilidade dos novos pneus é igual à dos pneus antigos, ou seja, μ = 50.000 km.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média de durabilidade dos novos pneus é maior que a dos pneus antigos, ou seja, μ > 50.000 km.

Passo 3

Como estamos comparando a média de uma amostra com a média conhecida da população e a amostra é pequena (n = 20) com desvio padrão desconhecido da população, vamos usar o teste t de Student.

Passo 4

Agora, vamos calcular a estatística de teste t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 55.000 km (média da amostra)
  • mu0 = 50.000 km (média da população)
  • s = 4.000 km (desvio padrão da amostra)
  • n = 20 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
t = 55.000 - 50.0004.000 / raiz20 = 5.0004.000 / 4,4721 approx 5.000894,427 approx 5,59

Passo 5

Vamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um teste unilateral com nível de significância de 1% e 19 graus de liberdade (df = n - 1 = 20 - 1 = 19). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 2,539.

Passo 6

Comparamos a estatística de teste calculada com o valor crítico:
  • Se $ t > t_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Aqui, $ 5,59 > 2,539 $, então rejeitamos H₀.

Resposta

Sim, os dados provam que os novos pneus são mais duráveis com nível de significância de 1 %.

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