Sejam A e B dois eventos associados a uma experiência aleatória E. Suponha que e P(A cup B)=0,8. Qual o valor de p se A e B são independentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois eventos, A e B, relacionados a uma experiência aleatória. A gente sabe que a probabilidade de A acontecer é $ P(A) = p $, a probabilidade de B acontecer sem A é $ P(B \cap \overline{A}) = 0,3 $, e a probabilidade de nenhum dos dois acontecer é $ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0,8 $. A gente precisa descobrir o valor de $ p $ sabendo que A e B são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade e independência de eventos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois eventos são independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é expresso como:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Passo 3
Vamos analisar as informações que temos. Sabemos que $ P(B \cap \overline{A}) = 0,3 $. Isso representa a probabilidade de B acontecer sem A. Como A e B são independentes, podemos expressar $ P(B) $ como:
P(B cap A) = 0,3
P(B)
P(B) = P(B cap A) + P(B cap A)
Passo 4
Vamos resolver para $ P(B) $. Colocando todos os termos de $ P(B) $ de um lado:
P(B)
P(B)
P(B) - p times P(B) = 0,3
Passo 5
Também sabemos que $ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0,8 $. Vamos usar a fórmula de De Morgan para simplificar:
P(A cup B) = 0,8
Sabendo que A e B são independentes: P(A cup B) = 1 - P(A cap B)
Portanto:
P(A cap B) = P(A) times P(B) = p times P(B)
1 - p times P(B) = 0,8
p times P(B) = 1 - 0,8
Passo 6
Agora, substituímos $ P(B) $ da Passo 4 na equação acima:
P(B)
p times 0,31 - p = 0,2
Passo 7
Vamos resolver para $ p $:
Multiplicamos ambos os lados por $ 1 - p $:
p
1 - p
Somamos $ 0,2p $ em ambos os lados: 0,3p = 0,2(1 - p)
0,3p = 0,2 - 0,2p
Dividimos ambos os lados por 0,5: 0,2p