Certos fornos de tratamento térmico de peças forjadas utilizam gás natural como combustível. Estes fornos possuem uma tubulação para exaustão dos gases de combustão que ainda estão em alta temperatura e o seu calor pode ser aproveitado. Em um dado forno, a temperatura externa do tubo de exaustão é de 150 { }^{\circ} \mathrm{C} e é usado para pré-aquecer ar de processo que está a 60^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} tubo tem 10 cm de diâmetro externo e 3 m de comprimento. Possuímos discos de cobre ( \mathrm{K}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) de 0,5 \mathrm{~cm} de espessura e 20 cm de diâmetro que desejamos furar no centro para soldar ao tubo de forma a proporcionar uma troca de 600 W pelas novas aletas. Qual é o número mínimo de discos para atender o especificado? Utilizar um coeficiente combinado de transferência de calor de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
(7 aletas (o cálculo indicou 6,9))

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de aletas-disco de cobre para fornecer 600\\ \mathrm{W} de calor, sabendo que o tubo está a 150\\ ^\circ\mathrm{C} e o ar a 60\\ ^\circ\mathrm{C}. O tubo tem diâmetro externo de 0,10\\ \mathrm{m} e comprimento de 3\\ \mathrm{m}. Cada disco de cobre tem condutividade térmica k=400\\ \mathrm{W/(m\,K)}, espessura t=0,005\\ \mathrm{m} e diâmetro externo de 0,20\\ \mathrm{m}. Adotamos coeficiente combinado de transferência h=20\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}. Vamos tratar cada disco como uma aleta anular fina, calcular sua eficiência e o calor que transfere, e depois determinar quantos discos são necessários.

Passo 2

Determinar a área de convecção de um disco. A aleta é um anel de faces dupla expostas ao fluido, com raios interior e exterior
r_1 = 0{,}05\\ \mathrm{m},\quad r_2 = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
A área total de convecção de cada disco é
A = 2\,\pi\bigl(r_2^2 - r_1^2\bigr) =2\pi\bigl(0{,}10^2 - 0{,}05^2\bigr)\approx0{,}0471\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular o parâmetro de alongamento da aleta (para lados duplos):
m = \sqrt{\frac{2\,h}{k\,t}} = \sqrt{\frac{2\cdot20}{400\cdot0{,}005}} =\sqrt{20}\approx4{,}472\\ \mathrm{m^{-1}}.
O comprimento da aleta é L=r_2-r_1=0{,}05\\ \mathrm{m}, logo
m\,L =4{,}472\cdot0{,}05\approx0{,}224.

Passo 4

Calcular a eficiência típica da aleta fina anular usando
\eta = \frac{\operatorname{tanh}\bigl(m\,L\bigr)}{m\,L} =\frac{\operatorname{tanh}(0{,}224)}{0{,}224}\approx0{,}985.

Passo 5

Determinar a potência por aleta. A diferença de temperatura é
\Delta T =150 - 60 = 90\\ \mathrm{K},
então
Q_{\text{aleta}} =\eta\,h\,A\,\Delta T \approx0{,}985\cdot20\cdot0{,}0471\cdot90 \approx83{,}6\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular o número de discos necessários para 600\\ \mathrm{W}:
n = \frac{600}{Q_{\text{aleta}}} \approx\frac{600}{83{,}6}\approx7{,}18.
Como não se pode usar fração de disco, arredondamos para cima.

Resposta

São necessárias 7 aletas-disco.

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