Utilizando o método da bisseção, encontre uma aproximação para a raiz da equação \sqrt{x}-\cos (x)=0, com uma precisão de 10^{-2}. Como condição inicial, escolha o único intervalo conveniente dentre [0,1],[1,2] ou [1,100]. Utilize, como critério de parada, o tamanho do intervalo. Realize, no máximo, 3 iterações. Considere a realização do cálculo do ponto médio como definição de iteração. Note que x_{k}=0.5\left(a_{k}+b_{k}\right) e f\left(a_{k}\right) f\left(b_{k}\right)<0, para todo k.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de \sqrt{x}-\cos(x)=0 pelo método da bisseção, com precisão na largura do intervalo de 10^{-2} e no máximo 3 iterações. Vamos precisar avaliar
f(x)=\sqrt{x}-\cos(x)
nos extremos de um intervalo [a_0,b_0] que satisfaça f(a_0)f(b_0)<0, e em cada iteração usar
x_k=\tfrac{a_k+b_k}{2}
para escolher o subintervalo que contém a raiz.

Passo 2

Testamos os três candidatos:
\,[0,1]:f(0)=0-1=-1,\;f(1)=1-\cos(1)\approx0,4597\Rightarrow f(0)f(1)<0.
\,[1,2]:f(1)\approx0,4597,\;f(2)=\sqrt{2}-\cos(2)\approx1,8303\Rightarrow f(1)f(2)>0.
\,[1,100] também dá sinais iguais. Logo o intervalo inicial é
[a_0,b_0]=[0,1].

Passo 3

Iteração 1:
x_1=\tfrac{0+1}{2}=0,5,\quad f(0,5)=\sqrt{0,5}-\cos(0,5)\approx0,7071-0,8776=-0,1705.
Como f(0)f(0,5)>0, a raiz fica em [0,5,\,1]. Então
[a_1,b_1]=[0,5,\,1],\quad b_1-a_1=0,5>10^{-2}.

Passo 4

Iteração 2:
x_2=\tfrac{0,5+1}{2}=0,75,\quad f(0,75)=\sqrt{0,75}-\cos(0,75)\approx0,8660-0,7317=0,1343.
Aqui f(0,5)f(0,75)<0, logo a raiz está em [0,5,\,0,75]. Então
[a_2,b_2]=[0,5,\,0,75],\quad b_2-a_2=0,25>10^{-2}.

Passo 5

Iteração 3:
x_3=\tfrac{0,5+0,75}{2}=0,625,\quad f(0,625)=\sqrt{0,625}-\cos(0,625)\approx0,7906-0,8109=-0,0203.
Como f(0,5)f(0,625)>0, a raiz fica em [0,625,\,0,75]. Agora
[a_3,b_3]=[0,625,\,0,75],\quad b_3-a_3=0,125.
Chegamos a 3 iterações, então paramos.

Resposta

Uma aproximação da raiz após 3 iterações é
x_3=0,625\approx0,63.

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