Como dever de casa, considerem o campo
F(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
definido (i) em \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} e (ii) em A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>0\right\}. No caso (i), mostre que
\int_{C} F=2 \pi
em que C é o círculo parametrizado por \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow C, \gamma(t)=(R \cos (t), R \operatorname{sen}(t)); no caso (ii), mostre que
f(x, y)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)
é uma função potencial de F, isto é, F=\operatorname{grad} f. O que se pode dizer sobre o caráter conservativo do campo em cada um dos casos acima? Reflita um pouco sobre o significado desses resultados.

Passo 1

O enunciado trata de integrar o campo
F(x,y)=\biggl(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\biggr)
em duas situações: (i) ao longo do círculo C de raio R em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e (ii) em A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y>0\}, onde devemos encontrar uma potencial f tal que \nabla f=F. O conteúdo envolve integração de linha, cálculo de gradiente e caráter conservativo de campos vetoriais.

Passo 2

No caso (i) parametrizamos o círculo por
\gamma(t)=\bigl(R\cos t,\;R\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Calculamos
\gamma'(t)=\bigl(-R\sin t,\;R\cos t\bigr)
e avaliamos
F\bigl(\gamma(t)\bigr) =\left(\frac{-R\sin t}{R^{2}},\,\frac{R\cos t}{R^{2}}\right) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{R},\,\tfrac{\cos t}{R}\Bigr).

Passo 3

Fazemos o produto escalar
F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot\gamma'(t) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{R}\Bigr)\bigl(-R\sin t\bigr) +\Bigl(\tfrac{\cos t}{R}\Bigr)\bigl(R\cos t\bigr) =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Logo a integral de linha é
\int_{C}F\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi.

Passo 4

Concluímos que em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} o campo não é conservativo, pois há uma curva fechada (o círculo) em que
\displaystyle\int_CF\neq0.

Passo 5

No caso (ii), em A=\{y>0\}, propomos
f(x,y)=\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto \nabla f=F em A.

Passo 6

Como A é simplesmente conexa e f está bem definida e contínua em todo A, F é conservativo em A. Em resumo:
  • Em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} o campo não é conservativo (há “vulto” topológico em volta da origem).
  • Em A=\{y>0\} o campo é conservativo e f(x,y)=\arctan(y/x) é potencial.

Resposta

(i) \displaystyle\int_C F\cdot d\mathbf r=2\pi.
(ii) f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) satisfaz \nabla f=F.
Conservativo em A, não conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

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