Como dever de casa, considerem o campo
definido (i) em
e (ii) em
. No caso (i), mostre que
em que C é o círculo parametrizado por
; no caso (ii), mostre que
é uma função potencial de
, isto é,
. O que se pode dizer sobre o caráter conservativo do campo em cada um dos casos acima? Reflita um pouco sobre o significado desses resultados.
Passo 1
O enunciado trata de integrar o campo
em duas situações: (i) ao longo do círculo
de raio
em
e (ii) em
, onde devemos encontrar uma potencial
tal que
. O conteúdo envolve integração de linha, cálculo de gradiente e caráter conservativo de campos vetoriais.
Passo 2
No caso (i) parametrizamos o círculo por
Calculamos
e avaliamos
Passo 3
Fazemos o produto escalar
Logo a integral de linha é
Passo 4
Concluímos que em
o campo não é conservativo, pois há uma curva fechada (o círculo) em que
.
Passo 5
No caso (ii), em
, propomos
Calculamos as derivadas parciais:
Portanto
em
.
Passo 6
Como
é simplesmente conexa e
está bem definida e contínua em todo
,
é conservativo em
. Em resumo:
- Em
o campo não é conservativo (há “vulto” topológico em volta da origem). - Em
o campo é conservativo e é potencial.
Resposta
(i)
.
(ii) satisfaz
.
Conservativo em , não conservativo em
.
(ii)
Conservativo em