O césio-137 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se sua meia vida (tempo necessário para que 50 por cento da massa inicialmente presente desintegra-se) é de 30 anos e se a massa inicial de uma amostra é de 100 g , ache a massa presente em um tempo arbitrário t e quanto tempo é necessário para a mesma decair a 10 g .
RESP.: m(t)=100 e^-t30 ln 2 e 100 anos aproximadamente.

Passo 1

O enunciado diz que o césio-137 sofre decaimento exponencial, com meia-vida de 30 anos e massa inicial de 100 g. Para resolver, vamos usar o modelo de decaimento proporcional e a relação com meia-vida.

Passo 2

O modelo teórico parte da equação diferencial de decaimento:
dmdt=-k,m(t)
Aqui k>0 é a constante de taxa de decaimento.

Passo 3

Para resolver a equação, separamos variáveis e integramos:
integral1m,dm=-integral k,dtLongrightarrowln m=-k,t+C
Exponenciando, obtemos a forma geral:
m(t)=m0,e^-k,t
onde m0 é a massa inicial.

Passo 4

Usamos a meia-vida para achar k. Como em t=30 anos a massa cai à metade,
m(30)=m02=m0,e^-k,30 e^-30k=12Longrightarrow k=ln230.

Passo 5

Substituindo k em m(t) e lembrando m0=100 g, vem:
m(t)=100,e^-ln230t=100,e^-t30ln2.

Passo 6

Para achar o tempo t em que m(t)=10 g, fazemos:
10=100,e^-ln230tLongrightarrow e^-ln230t=0.1 -tfracln230t=ln(0.1)Longrightarrow t=-30ln2,ln(0.1)=30ln10ln2approx99.7 anos.

Resposta

A massa no tempo t é m(t)=100e^-tfract30ln2 e o tempo para a amostra decair a 10 g é aproximadamente 100 anos.

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