Um tanque contém, inicialmente, 100 litros de salmoura, com 2 kg de sal. No instante
, começa-se a adicionar água pura ao tanque, à razão de 5 litros/minuto, enquanto a mistura resultante escoa-se do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante arbitrário
.
RESP.:
RESP.:
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura (tanque com salmoura) em que entra água pura a
L/min e sai a mistura à mesma vazão. Temos inicialmente
L com
kg de sal. O conteúdo da matéria é EDO de primeira ordem (equação diferencial linear) obtida pelo balanço de massa de sal.
Passo 2
Definimos
como a massa de sal (em kg) no tanque no instante
(em minutos). Como a vazão de entrada e de saída são iguais, o volume permanece constante em
L. A concentração de sal na saída é
kg/L.
Passo 3
Escrevemos o balanço de massa de sal:
— Sal que entra por minuto: não há, pois entra água pura, ou seja, .
— Sal que sai por minuto: concentração vazão
.
Logo,
— Sal que entra por minuto: não há, pois entra água pura, ou seja,
— Sal que sai por minuto: concentração
Logo,
Passo 4
Resolvemos a equação diferencial
. É separável:
Integrando ambos os lados:
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo:
Assim
, o que dá