Um tanque contém, inicialmente, 100 litros de salmoura, com 2 kg de sal. No instante t=0, começa-se a adicionar água pura ao tanque, à razão de 5 litros/minuto, enquanto a mistura resultante escoa-se do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante arbitrário t.
RESP.: m(t)=2 e^-t20

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura (tanque com salmoura) em que entra água pura a 5 L/min e sai a mistura à mesma vazão. Temos inicialmente 100 L com 2 kg de sal. O conteúdo da matéria é EDO de primeira ordem (equação diferencial linear) obtida pelo balanço de massa de sal.

Passo 2

Definimos m(t) como a massa de sal (em kg) no tanque no instante t (em minutos). Como a vazão de entrada e de saída são iguais, o volume permanece constante em 100 L. A concentração de sal na saída é m(t)100 kg/L.

Passo 3

Escrevemos o balanço de massa de sal:
— Sal que entra por minuto: não há, pois entra água pura, ou seja, 0.
— Sal que sai por minuto: concentração times vazão = m(t)100times 5.
Logo,
dmdt = 0 - 5,m(t)100 = -m(t)20

Passo 4

Resolvemos a equação diferencial dmdt = -120m. É separável:
dmm = -dt20
Integrando ambos os lados:
ln m = -t20 + C

Passo 5

Usamos a condição inicial m(0)=2. Substituindo:
ln 2 = C
Assim ln m = -t20 + ln 2, o que dá
m(t) = 2,e^-t20

Resposta

m(t) = 2,e^-t20

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