Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+4 y=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = -2
pelo método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar ( 1) achar a solução geral da parte homogênea e ( 2) encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo constante.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
yh'' + 4yh = 0
Formamos a equação característica
r^2 + 4 = 0
cuja raízes são
r = pm 2i
Portanto a solução homogênea é
yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para o lado direito constante -2. Fazemos o palpite
yp(x) = A,
com A constante. Como yp''=0, ao substituir na EDO temos
0 + 4A = -2
logo
A = -tfrac12
Assim
yp(x) = -tfrac12

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh e yp:
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) - tfrac12

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) - tfrac12

Exercícios relacionados