Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(2 t-1)+(3 y+7) cdot d yd t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e o exercício pede para verificar se ela é exata. Se for, a gente resolve. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente Equações Exatas. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como resolver ela passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
(2 t - 1) + (3 y + 7) cdot dydt = 0
Vamos organizar isso para colocar na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
M(t, y) + N(t, y) cdot dydt = 0
Então, temos:
M(t, y) = 2t - 1
N(t, y) = 3y + 7

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a t . Ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial t
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando partial Mpartial y :
Como M(t, y) = 2t - 1 , que não tem y na expressão, sua derivada parcial em relação a y é:
partial Mpartial y = 0
Calculando partial Npartial t :
Como N(t, y) = 3y + 7 , que também não tem t na expressão, sua derivada parcial em relação a t é:
partial Npartial t = 0

Passo 5

Como partial Mpartial y = 0 e partial Npartial t = 0 , temos que:
partial Mpartial y = partial Npartial t
Isso significa que a equação é exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver. Para isso, precisamos encontrar uma função Phi(t, y) tal que:
partial Phipartial t = M(t, y) = 2t - 1
partial Phipartial y = N(t, y) = 3y + 7
Vamos integrar M(t, y) em relação a t para encontrar Phi(t, y) :
Phi(t, y) = integral (2t - 1) , dt = t^2 - t + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 7

Agora, vamos derivar Phi(t, y) em relação a y e igualar a N(t, y) :
partial Phipartial y = d h(y)d y = 3y + 7
Integrando 3y + 7 em relação a y :
h(y) = 32 y^2 + 7y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Então, a função Phi(t, y) é:
Phi(t, y) = t^2 - t + 32 y^2 + 7y + C
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Phi(t, y) = constante

Resposta

A solução geral da equação é:
t^2 - t + 32 y^2 + 7y = C
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados