Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e o exercício pede para verificar se ela é exata. Se for, a gente resolve. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente Equações Exatas. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como resolver ela passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos organizar isso para colocar na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Como
, que não tem
na expressão, sua derivada parcial em relação a
é:
Calculando
:
Como
, que também não tem
na expressão, sua derivada parcial em relação a
é:
Passo 5
Como
e
, temos que:
Isso significa que a equação é exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver. Para isso, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, a função
é:
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.