(Cesmac-AL) Duas amigas, Ana e Bel, dirigem seus respectivos automóveis em sentidos opostos, ao longo de pistas paralelas de uma estrada retilínea. Em dado instante, Ana encontra-se na posição referente ao km 130 dessa estrada, enquanto Bel está no km 370. Os módulos das velocidades de Ana e Bel são constantes e iguais a 60,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Em que posição dessa estrada o carro de Ana passará pelo carro de Bel?
a) km 160
b) km 190
c) km 220
d) km 250
e) km 280

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Ana está na posição \text{km }130 da estrada.
  • Bel está na posição \text{km }370 da estrada.
  • Os módulos das velocidades de Ana e Bel são constantes e iguais a \,60,0\\ \text{km/h}.
  • As duas amigas dirigem em sentidos opostos ao longo de pistas paralelas de uma estrada retilínea.
Pergunta: Em que posição dessa estrada o carro de Ana passará pelo carro de Bel? (ou seja, em qual quilômetro eles se encontram)

Passo 2

Entender o que significa “sentidos opostos” e como isso afeta a velocidade relativa.
Quando dois objetos se movem em sentidos opostos ao longo de uma mesma reta, a velocidade com que a distância entre eles diminui (a velocidade relativa de aproximação) é a soma dos módulos das velocidades individuais. Por exemplo, se um vai a \,v_1 e o outro a \,v_2 em sentidos opostos, a velocidade de fechamento é
v_{\text{rel}} = v_1 + v_2.
Aqui v_1 e v_2 são os módulos das velocidades (valores positivos). Essa é uma ideia muito útil para encontrar o tempo até se encontrarem: o tempo é a distância inicial dividida por v_{\text{rel}}.

Passo 3

Calcular a distância inicial entre os carros.
Os carros estão em \text{km }130 e \text{km }370. A distância inicial D entre eles é a diferença entre esses marcadores:
D = 370 - 130 = 240\\ \text{km}.
(Coloquei os números em TeX para ficar certinho: D=240.)

Passo 4

Calcular a velocidade relativa de aproximação.
Ambos têm módulo da velocidade \,60,0\\ \text{km/h}. Como andam em sentidos opostos,
v_{\text{rel}} = 60{,}0 + 60{,}0 = 120{,}0\\ \text{km/h}.
Ou simplesmente v_{\text{rel}}=120\\ \text{km/h}.

Passo 5

Calcular o tempo até o encontro usando t = \dfrac{D}{v_{\text{rel}}}.
Aplicando a fórmula do tempo:
t = \frac{D}{v_{\text{rel}}} = \frac{240}{120} = 2\\ \text{h}.
Ou seja, após 2 horas eles se encontram.

Passo 6

Determinar a posição do encontro encontrando quanto Ana percorre em t=2\\ \text{h}.
Ana parte de \text{km }130 e desloca-se com velocidade \,60{,}0\\ \text{km/h} durante 2\\ \text{h}. O deslocamento de Ana é
\Delta x_A = v_A \cdot t = 60{,}0 \cdot 2 = 120\\ \text{km}.
Portanto, a posição de encontro x_{\text{encontro}} é
x_{\text{encontro}} = 130 + 120 = 250\\ \text{km}.
Observação alternativa (mesma conclusão): podemos também usar a média ponderada das posições com pesos proporcionais às velocidades, já que as velocidades têm o mesmo módulo isso dá
x_{\text{encontro}} = \frac{60{,}0\cdot 130 + 60{,}0\cdot 370}{60{,}0+60{,}0} = \frac{60{,}0\cdot(130+370)}{120{,}0} = \frac{60{,}0\cdot500}{120{,}0}=250.

Resposta

km 250

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