De uma cesta de laranjas, \frac{2}{5} foram dados a uma pessoa; \frac{1}{3} do resto, a outra pessoa; e ainda restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quantas laranjas havia no começo. As informações dadas são:
  • Uma fração das laranjas, \tfrac{2}{5}, foi dada a uma pessoa.
  • Depois disso, foi dada a outra pessoa \tfrac{1}{3} do que restou.
  • Após essas duas doações, ainda restaram 10 laranjas.
    Portanto a pergunta é: qual era a quantidade inicial de laranjas?

Passo 2

Vamos nomear a quantidade inicial com uma variável para poder trabalhar com ela. Seja x o número total de laranjas que havia inicialmente. A ideia é escrever em termos de x o que aconteceu em cada etapa.

Passo 3

Primeira doação: foi dado \tfrac{2}{5} de x, ou seja a quantidade dada foi \tfrac{2}{5}x.
Portanto o que ficou depois da primeira doação é
x - \tfrac{2}{5}x.
Fatorando x isso vira
\left(1 - \tfrac{2}{5}\right)x = \tfrac{3}{5}x.
Explicação rápida: subtrai-se a fração dada do inteiro 1 para achar a fração que sobrou.

Passo 4

Segunda doação: a outra pessoa recebeu \tfrac{1}{3} do que restou. Como o resto após a primeira doação é \tfrac{3}{5}x, a segunda doação foi
\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{5}x.
Multiplicando as frações obtemos
\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{1}{5},
então a segunda doação é \tfrac{1}{5}x.
Comentário sobre a conta: aqui a fração 3 no numerador cancela com o 3 do denominador, sobrando 1 sobre 5.

Passo 5

Agora calculamos o que ficou após a segunda doação. Antes da segunda doação havia \tfrac{3}{5}x; deu-se \tfrac{1}{5}x. Então sobrou
\tfrac{3}{5}x - \tfrac{1}{5}x = \tfrac{2}{5}x.
Ou seja, após as duas doações restou \tfrac{2}{5}x laranjas.

Passo 6

O enunciado diz que esse resto é 10 laranjas. Logo montamos a equação
\tfrac{2}{5}x = 10.
Agora resolvemos para x. Multiplica-se ambos os lados pela recíproca de \tfrac{2}{5}, que é \tfrac{5}{2}:
x = 10 \cdot \tfrac{5}{2}.
Calculando:
10 \cdot \tfrac{5}{2} = \tfrac{10\cdot 5}{2} = \tfrac{50}{2} = 25.

Passo 7

Vamos conferir rapidamente para garantir que não houve erro:
  • Inicialmente 25 laranjas.
  • Primeira doação: \tfrac{2}{5}\cdot 25 = 10 laranjas dadas, sobra 25-10=15.
  • Segunda doação: \tfrac{1}{3} do que restou = \tfrac{1}{3}\cdot 15 = 5 laranjas dadas, sobra 15-5=10.
    Combina com o enunciado, portanto 25 está correto.

Resposta

25 laranjas.

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