Encotre a transformada de Laplace de f(t)=lr1 & 0 <= t<1, -3 e^-t & t >= 1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= 1, & 0 <= t < 1, -3e^-t, & t>=1
Conteúdo: transformada de Laplace de funções em partes e uso da função degrau de Heaviside para representar trocas de expressão em t=1.

Passo 2

Vamos escrever f(t) usando u(t-1). Note que
  • Para t<1, u(t-1)=0 e queremos f(t)=1.
  • Para t>=1, u(t-1)=1 e queremos f(t)=-3e^-t.
    Podemos então montar
f(t)=1 - u(t-1) - 3e^-t,u(t-1)
De fato, se t<1 a segunda e a terceira parcelas somam zero; se t>=1 fica 1-1-3e^-t=-3e^-t.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace termo a termo. Primeiro
L1=1s
Em seguida, usamos
Lu(t-1)=e^-s,1s,
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L-u(t-1)=-e^-ss

Passo 4

Falta L-3e^-tu(t-1). Observe que
e^-tu(t-1)=e^-1,e^-(t-1)u(t-1),
então, pela propriedade de deslocamento,
Le^-(t-1)u(t-1) =e^-s,1s+1
Multiplicando por -3e^-1 temos
L-3e^-tu(t-1) =-3e^-1,e^-s,1s+1 =-3e^-(s+1)s+1

Passo 5

Somando tudo,
F(s)=1s -e^-ss -3e^-(s+1)s+1
Podemos reescrever de modo mais compacto como
F(s)=1-e^-ss -3e^-(s+1)s+1

Resposta

F(s)=1-e^-ss -3e^-(s+1)s+1

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