(1)
(2)
(3)
(4)
Determine a expressão da velocidade de formação do metano e a do desaparecimento do acetaldeído.
(2)
(3)
(4)
Determine a expressão da velocidade de formação do metano e a do desaparecimento do acetaldeído.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um mecanismo radicalar em quatro etapas onde o acetaldeído (CH₃CHO) se quebra, forma radicais e, no fim, gera metano (CH₄) e etano (CH₃–CH₃). A matéria aqui é Cinética Química, em especial o método do Estado Estacionário para intermediários (radicais). Para resolver, a gente vai:
- Escrever as velocidades de cada etapa,
- Assumir que as concentrações dos radicais (•CH₃ e •CH₂CHO) não mudam muito (estado estacionário),
- Resolver para essas concentrações,
- Montar a expressão da taxa de formação de CH₄ e do consumo de CH₃CHO.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as velocidades elementares (v₁…v₄) usando constantes k₁…k₄ e as concentrações:
v₁ = k₁[CH₃CHO]
v₂ = k₂[•CH₃][CH₃CHO]
v₃ = k₃[•CH₂CHO]
v₄ = k₄[•CH₃]²
v₁ = k₁[CH₃CHO]
v₂ = k₂[•CH₃][CH₃CHO]
v₃ = k₃[•CH₂CHO]
v₄ = k₄[•CH₃]²
Passo 3
Aplicamos o Estado Estacionário (d[radical]/dt ≃ 0) para •CH₂CHO:
formação de •CH₂CHO é pela etapa (2), consumo pela (3), então
0 = v₂ – v₃
k₂[•CH₃][CH₃CHO] – k₃[•CH₂CHO] = 0
⇒ [•CH₂CHO] = (k₂/k₃)[•CH₃][CH₃CHO]
formação de •CH₂CHO é pela etapa (2), consumo pela (3), então
0 = v₂ – v₃
k₂[•CH₃][CH₃CHO] – k₃[•CH₂CHO] = 0
⇒ [•CH₂CHO] = (k₂/k₃)[•CH₃][CH₃CHO]
Passo 4
Agora fazemos o mesmo para •CH₃:
formação vem de (1) e de (3), consumo de (2) e (4).
0 = v₁ + v₃ – v₂ – 2·v₄
Substitui v₃ e v₂ em função de [•CH₃]:
0 = k₁[CH₃CHO] + k₃·(k₂/k₃)[•CH₃][CH₃CHO] – k₂[•CH₃][CH₃CHO] – 2k₄[•CH₃]²
Repara que o termo k₃·(k₂/k₃)[•CH₃][CH₃CHO] é exatamente k₂[•CH₃][CH₃CHO], então esses dois “se anulam” na soma, sobrando
0 = k₁[CH₃CHO] – 2k₄[•CH₃]²
⇒ [•CH₃]² = k₁[CH₃CHO]/(2k₄)
⇒ [•CH₃] = √[k₁/(2k₄)] · [CH₃CHO]^(1/2)
formação vem de (1) e de (3), consumo de (2) e (4).
0 = v₁ + v₃ – v₂ – 2·v₄
Substitui v₃ e v₂ em função de [•CH₃]:
0 = k₁[CH₃CHO] + k₃·(k₂/k₃)[•CH₃][CH₃CHO] – k₂[•CH₃][CH₃CHO] – 2k₄[•CH₃]²
Repara que o termo k₃·(k₂/k₃)[•CH₃][CH₃CHO] é exatamente k₂[•CH₃][CH₃CHO], então esses dois “se anulam” na soma, sobrando
0 = k₁[CH₃CHO] – 2k₄[•CH₃]²
⇒ [•CH₃]² = k₁[CH₃CHO]/(2k₄)
⇒ [•CH₃] = √[k₁/(2k₄)] · [CH₃CHO]^(1/2)
Passo 5
Agora a taxa de formação de metano é a da etapa (2):
v(CH₄) = v₂ = k₂[•CH₃][CH₃CHO]
Substituindo [•CH₃]:
v(CH₄) = k₂ · √[k₁/(2k₄)] · [CH₃CHO]^(1/2) · [CH₃CHO]
v(CH₄) = k₂·√[k₁/(2k₄)] · [CH₃CHO]^(3/2)
v(CH₄) = v₂ = k₂[•CH₃][CH₃CHO]
Substituindo [•CH₃]:
v(CH₄) = k₂ · √[k₁/(2k₄)] · [CH₃CHO]^(1/2) · [CH₃CHO]
v(CH₄) = k₂·√[k₁/(2k₄)] · [CH₃CHO]^(3/2)
Passo 6
Para o desaparecimento do acetaldeído, ele é consumido em (1) e em (2):
–d[CH₃CHO]/dt = v₁ + v₂
= k₁[CH₃CHO] + k₂[•CH₃][CH₃CHO]
Substitui [•CH₃] de novo:
–d[CH₃CHO]/dt = k₁[CH₃CHO] + k₂·√[k₁/(2k₄)]·[CH₃CHO]^(3/2)
–d[CH₃CHO]/dt = v₁ + v₂
= k₁[CH₃CHO] + k₂[•CH₃][CH₃CHO]
Substitui [•CH₃] de novo:
–d[CH₃CHO]/dt = k₁[CH₃CHO] + k₂·√[k₁/(2k₄)]·[CH₃CHO]^(3/2)
Resposta
Formulas finais:
v(CH₄) = k₂·√(k₁/(2k₄)) · [CH₃CHO]^(3/2)
–d[CH₃CHO]/dt = k₁[CH₃CHO] + k₂·√(k₁/(2k₄)) · [CH₃CHO]^(3/2)
v(CH₄) = k₂·√(k₁/(2k₄)) · [CH₃CHO]^(3/2)
–d[CH₃CHO]/dt = k₁[CH₃CHO] + k₂·√(k₁/(2k₄)) · [CH₃CHO]^(3/2)