Chama -se baricentro de um triângulo o ponto G de encontro das três medianas. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos.
a) A=(1,5), B=(3,2) C=(2,4)
b) A=(x1, y1), B=(x2, y2) e C=(x3, y3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o baricentro de um triângulo, que é o ponto onde as três medianas se encontram. Medianas são os segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. O baricentro é importante porque divide cada mediana na razão 2:1, contando a partir do vértice. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula das coordenadas do baricentro, que basicamente tira a média das coordenadas dos vértices do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) onde os vértices do triângulo são A = (1,5) , B = (3,2) e C = (2,4) .
A fórmula para encontrar o baricentro G é:
G(xA + xB + xC3, yA + yB + yC3)
Vamos calcular cada coordenada:
  • Coordenada x de G:
xG = 1 + 3 + 23 = 63 = 2
  • Coordenada y de G:
yG = 5 + 2 + 43 = 113 approx 3,67
Então, o baricentro G tem as coordenadas (2, 113) .

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) onde os vértices do triângulo são dados de forma geral: A = (x1, y1) , B = (x2, y2) e C = (x3, y3) .
Usamos a mesma fórmula geral para o baricentro G :
G(x1 + x2 + x33, y1 + y2 + y33)
Isso significa que:
  • A coordenada x de G é a média das coordenadas x dos três vértices.
  • A coordenada y de G é a média das coordenadas y dos três vértices.
Essa fórmula funciona para qualquer triângulo, independente das coordenadas dos seus vértices.

Resposta

a) O baricentro do triângulo ABC com A = (1,5) , B = (3,2) e C = (2,4) é G = (2, 113) .
b) Para um triângulo com vértices A = (x1, y1) , B = (x2, y2) e C = (x3, y3) , as coordenadas do baricentro G são:
G(x1 + x2 + x33, y1 + y2 + y33)

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