a) Sejam e ponto e vetor no plano, encontre a equação na forma reduzida da reta perpendicular a que contenha (use que se e somente se .
b) Mostre que, no plano, a equação da reta r (na forma reduzida) contendo A=(x0, y0) perpendicular a n=(a, b) é:
a x+b y=d
onde d=a x0+b y0.
c) A reta que intercepta o eixo x no ponto (a, 0) e o eixo y no ponto (0, b) sendo ambos os pontos distintos da origem. Mostre que a equação dessa reta pode ser escrita como:
xa+yb=1
d) Ache a equação da reta que passa a uma distância h da origem e cujo segmento de tamanho h forma um ângulo alpha como o eixo chi.
Dica: Ache os pontos onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y em termos de h, alpha e use o resultado do item a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que esse exercício está pedindo. Temos algumas partes que envolvem encontrar equações de retas no plano usando vetores e propriedades geométricas. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores, produtos internos (dot product) e equações de retas na forma reduzida. Vamos resolver cada item passo a passo!
Passo 2
Parte a)
Aqui, a gente tem um ponto A = (1,2) e um vetor n = (3,4) . Queremos achar a equação da reta r que é perpendicular a n e passa pelo ponto A . A dica é que um ponto X está na reta r se, e somente se, o vetor AX tem produto interno zero com n .
Primeiro, vamos entender que se a reta é perpendicular ao vetor n , então n é um vetor normal à reta. A equação de uma reta com vetor normal n = (a,b) e que passa pelo ponto A = (x0, y0) é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
Aplicando isso ao nosso caso:
3(x - 1) + 4(y - 2) = 0
Vamos simplificar essa equação.
Passo 3
Expandindo a equação:
3x - 3 + 4y - 8 = 0 3x + 4y - 11 = 0
Mas geralmente, a forma reduzida da equação de uma reta é isolando y . Vamos rearranjar:
4y = -3x + 11 y = -34x + 114
Passo 4
Parte b)
Agora, queremos mostrar que a equação da reta r perpendicular a n = (a, b) que passa pelo ponto A = (x0, y0) é:
a x + b y = d
onde d = a x0 + b y0 .
Vamos começar sabendo que n é vetor normal à reta, então a equação geral da reta é:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
Vamos expandir:
a x - a x0 + b y - b y0 = 0 a x + b y = a x0 + b y0 a x + b y = d onde d = a x0 + b y0
Passo 5
Parte c)
Temos uma reta que intercepta o eixo x no ponto (a, 0) e o eixo y no ponto (0, b) . Precisamos mostrar que a equação dessa reta é:
xa + yb = 1
A equação geral de uma reta que intercepta os eixos em (a,0) e (0,b) pode ser escrita como:
xa + yb = 1
Isso porque, quando x = a , y = 0 , e quando y = b , x = 0 , satisfazendo os pontos dados.
Passo 6
Parte d)
Queremos achar a equação da reta que está a uma distância h da origem e cujo segmento de comprimento h forma um ângulo alpha com o eixo chi (eixo x ).
A dica sugere encontrar os pontos onde a reta intercepta os eixos x e y em termos de h e alpha , e depois usar o resultado da parte a).
Primeiro, se a reta está a uma distância h da origem, podemos pensar no ponto mais próximo da origem sobre a reta. Esse ponto forma um ângulo alpha com o eixo x , então suas coordenadas são (h cos alpha, h sin alpha) .
Esses serão os pontos de interseção com os eixos. Vamos chamar o ponto de interseção com o eixo x de (a, 0) e com o eixo y de (0, b) .
Usando trigonometria:
a = h cos alpha
b = h sin alpha
Agora, aplicamos o resultado da parte a) para encontrar a equação da reta: