No triângulo de vértices
e
a) ache as equações das três alturas;
b) ache as equações das três medianas;
c) prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triângulo, determinando suas coordenadas.
d) prove que as três medianas se encontram no baricentro G, determinando suas coordenadas.
a) ache as equações das três alturas;
b) ache as equações das três medianas;
c) prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triângulo, determinando suas coordenadas.
d) prove que as três medianas se encontram no baricentro G, determinando suas coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
,
e
.
a) Pedem as equações das três alturas (retas que passam por cada vértice e são perpendiculares ao lado oposto).
b) Pedem as equações das três medianas (retas que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto).
c) Mostrar que as três alturas se encontram num ponto (ortocentro) e determinar suas coordenadas.
d) Mostrar que as três medianas se encontram num ponto (baricentro) e determinar suas coordenadas.
a) Pedem as equações das três alturas (retas que passam por cada vértice e são perpendiculares ao lado oposto).
b) Pedem as equações das três medianas (retas que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto).
c) Mostrar que as três alturas se encontram num ponto
d) Mostrar que as três medianas se encontram num ponto
Passo 2
Altitudes:
– Altitude de ao lado
(reta
): como
é horizontal, a altura é vertical em
:
– Altitude de
– Altitude de
ao lado
: a reta
une
a
e tem coeficiente angular
Logo a altura é perpendicular, com coeficiente
, e passa por
:
– Altitude de
ao lado
: a reta
une
a
e tem coeficiente
A altura é perpendicular, com coeficiente
, e passa por
:
Passo 3
Ort ocentro
é a interseção de duas alturas. Tomando
e
, em
temos
logo
Verifica-se ainda que
satisfaz a terceira altura
, pois
Passo 4
Medianas:
– Mediana de ao lado
: ponto médio de
é
. O coeficiente angular da reta
–médio(
) é
, logo
– Mediana de
– Mediana de
ao lado
: ponto médio de
é
. O coeficiente é
, logo
– Mediana de
ao lado
: ponto médio de
é
. O coeficiente é
, então
Passo 5
Baricentro
deve ser a interseção de duas medianas. Supõe-se
– Na mediana de
:
– Na mediana de
:
Logo as duas se cruzam em
e a terceira passa também por esse ponto.
Resposta
a) Alturas:
b) Medianas:
c) Ortocentro:
d) Baricentro: