No triângulo de vértices (a, 0),(b, 0) e (0, c):
a) ache as equações das três alturas;
b) ache as equações das três medianas;
c) prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triângulo, determinando suas coordenadas.
d) prove que as três medianas se encontram no baricentro G, determinando suas coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
(a,0), (b,0) e (0,c).
a) Pedem as equações das três alturas (retas que passam por cada vértice e são perpendiculares ao lado oposto).
b) Pedem as equações das três medianas (retas que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto).
c) Mostrar que as três alturas se encontram num ponto H (ortocentro) e determinar suas coordenadas.
d) Mostrar que as três medianas se encontram num ponto G (baricentro) e determinar suas coordenadas.

Passo 2

Altitudes:
– Altitude de C=(0,c) ao lado AB (reta y=0): como AB é horizontal, a altura é vertical em x=0:
x = 0
– Altitude de A=(a,0) ao lado BC: a reta BC une B=(b,0) a C=(0,c) e tem coeficiente angular
mBC = c-00-b = -cb
Logo a altura é perpendicular, com coeficiente b/c, e passa por (a,0):
y - 0 = bc,(x - a)
– Altitude de B=(b,0) ao lado AC: a reta AC une A=(a,0) a C=(0,c) e tem coeficiente
mAC = c-00-a = -ca
A altura é perpendicular, com coeficiente a/c, e passa por (b,0):
y - 0 = ac,(x - b)

Passo 3

Ort ocentro H é a interseção de duas alturas. Tomando x=0 e y=tfracbc(x-a), em x=0 temos
y = bc(0 - a) = -abc,
logo
H = l(0,,-tfracabcr)
Verifica-se ainda que H satisfaz a terceira altura y=tfracac(x-b), pois
-abc = ac(0 - b) = -abc

Passo 4

Medianas:
– Mediana de A=(a,0) ao lado BC: ponto médio de BC é l(tfracb2,tfracc2r). O coeficiente angular da reta A–médio( BC) é
tfrac(c/2)-0(b/2)-a=tfraccb-2a, logo
y - 0 = cb-2a,(x - a)
– Mediana de B=(b,0) ao lado AC: ponto médio de AC é l(tfraca2,tfracc2r). O coeficiente é
tfracc/2,a/2 - b,=tfracca-2b, logo
y - 0 = ca-2b,(x - b)
– Mediana de C=(0,c) ao lado AB: ponto médio de AB é l(tfraca+b2,0r). O coeficiente é
-tfracc(a+b)/2=-tfrac2ca+b, então
y - c = -2ca+b,x

Passo 5

Baricentro G deve ser a interseção de duas medianas. Supõe-se
G=l(tfraca+b3,,tfracc3r)
– Na mediana de C:
y = c - 2ca+b,x Longrightarrow c3 = c - 2ca+b,a+b3 = c - 2c3 = c3
– Na mediana de A:
y = cb-2a,(x - a) Longrightarrow c3 = cb-2a l(tfraca+b3-ar) = cb-2a,b-2a3 = c3
Logo as duas se cruzam em l(tfraca+b3,tfracc3r) e a terceira passa também por esse ponto.

Resposta

a) Alturas:
x = 0, y = bc,(x - a), y = ac,(x - b)
b) Medianas:
y = cb-2a,(x - a), y = ca-2b,(x - b), y - c = -2ca+b,x
c) Ortocentro:
H = l(0,,-tfracabcr)
d) Baricentro:
G = l(tfraca+b3,,tfracc3r)

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