Considere as retas res de equações cartesianas:
& r: a x+b y=c & s: d x+e y=f
Mostre que o ângulo alpha entre r e s obedece a equação:
cos alpha=|a d+b e|raiz(a^2+b^2)(d^2+e^2)

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no plano pela forma geral
r: a x + b y = c
s: d x + e y = f
e pede para mostrar que o ângulo alpha entre elas satisfaz
cosalpha = lvert a d + b ervertraizl(a^2+b^2r)l(d^2+e^2r)
O que vamos usar: representação das retas por vetores diretores e a definição de produto escalar em R^2.

Passo 2

Cada reta em forma a x + b y = c tem vetor normal
nr = (a,,b),
logo um vetor diretor, perpendicular a nr, é
vr = (-b,,a)
Analogamente, para s temos
ns = (d,,e),
vs = (-e,,d)

Passo 3

O ângulo alpha entre as retas é o mesmo que entre seus vetores diretores vr e vs. Pela definição de produto escalar,
vr cdot vs = lVert vrrVert,lVert vsrVertcosalpha

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
vrcdot vs = (-b)(-e) + a,d = a d + b e,
lVert vrrVert = raiz(-b)^2 + a^2 = raiza^2+b^2,
lVert vsrVert = raiz(-e)^2 + d^2 = raizd^2+e^2
Substituindo em vrcdot vs = lVert vrrVert,lVert vsrVertcosalpha e tomando valor absoluto para garantir o ângulo agudo, vem
cosalpha = lvert a d + b ervertraizl(a^2+b^2r)l(d^2+e^2r)

Resposta

cosalpha = lvert a d + b ervertraizl(a^2+b^2r)l(d^2+e^2r)

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