1. Seja I um intervalo aberto. Uma função f: I \rightarrow \mathbb{R} diz-se de classe C^{2} quando é derivável e sua derivada f^{\prime}: I \rightarrow \mathbb{R} é de classe C^{1}. Prove que se f(I) \subset J e g: J \rightarrow \mathbb{R} também é de classe C^{2}, então a composta g \circ f: I \rightarrow \mathbb{R} é de classe C^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \displaystyle f\colon I\to\mathbb{R} é de classe C^2 em um intervalo aberto I, \displaystyle g\colon J\to\mathbb{R} é de classe C^2 em um intervalo aberto J e \displaystyle f(I)\subset J,
então a composta \displaystyle g\circ f\colon I\to\mathbb{R} também é de classe C^2.
Aqui vamos usar a definição de classe C^2 (derivável e derivada de classe C^1), a regra da cadeia e o fato de que produto e composição de funções C^1 são C^1.

Passo 2

Como f e g são diferenciáveis em I e J, respectivamente, a composta g\circ f é diferenciável em I e sua derivada é dada pela regra da cadeia:
(g\circ f)'(x) = g'\bigl(f(x)\bigr)\,\cdot f'(x).

Passo 3

Denotemos
h(x) = (g\circ f)'(x) = \bigl(g'\circ f\bigr)(x)\;\cdot\;f'(x).
Para concluir que g\circ f é de classe C^2, precisamos mostrar que h é de classe C^1.

Passo 4

Como g é de classe C^2, temos g' de classe C^1 em J. Como f é de classe C^2, temos f de classe C^1 em I e f' de classe C^1 em I.
  1. A composição g'\circ f é de classe C^1 em I, pois compõe uma função C^1 com outra C^1.
  2. O produto de duas funções de classe C^1, aqui \bigl(g'\circ f\bigr)(x) e f'(x), é novamente uma função de classe C^1.
Portanto, h(x) é de classe C^1 em I.

Resposta

Como (g\circ f)' é de classe C^1, concluímos que g\circ f é de classe C^2.

Exercícios relacionados