Chama-se série harmônica, em geral, toda série cujos inversos de seus termos formam uma progressão aritmética, isto é, toda série da forma
Demonstre que uma tal série é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer constantes e , a série
é divergente.
O conteúdo-chave é teste de comparação para séries de termos positivos (ou de termos cuja soma de valores absolutos diverge). Vamos comparar com a série harmônica clássica , que sabemos que diverge (p-série com ).
Passo 2
Primeiro note que, como , existe tal que para todo vale
isto é, basta escolher . Para esses temos
Tomando recíprocos preservando a desigualdade (já que tudo é positivo no módulo),
Passo 3
Da desigualdade do passo anterior segue que
Por hipótese, diverge. Logo o somatório à esquerda também diverge. Isto mostra que
é divergente, ou seja, a série original não converge absolutamente. Além disso, para n>= N todos os termos 1/(a+n,r) têm sinal constante, então a soma parcial não se estabiliza e a série diverge de fato.