Chama-se série harmônica, em geral, toda série cujos inversos de seus termos formam uma progressão aritmética, isto é, toda série da forma
sumn=1^infty 1a+n r, r neq 0
Demonstre que uma tal série é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer constantes a e rneq0, a série
sumn=1^infty1a+n,r
é divergente.
O conteúdo-chave é teste de comparação para séries de termos positivos (ou de termos cuja soma de valores absolutos diverge). Vamos comparar com a série harmônica clássica sum1/n, que sabemos que diverge (p-série com p=1).

Passo 2

Primeiro note que, como rneq0, existe NinN tal que para todo n>= N vale
|a|<= |r|,n,
isto é, basta escolher N=llceil|a|/|r|rrceil. Para esses n temos
|a+n,r|;<=;|a|+|r|,n;<=;|r|,n+|r|,n;=;2,|r|,n
Tomando recíprocos preservando a desigualdade (já que tudo é positivo no módulo),
1|a+n,r|;>=;12,|r|,n para todo n>= N

Passo 3

Da desigualdade do passo anterior segue que
sumn=N^infty1|a+n,r|;>=;sumn=N^infty12,|r|,n ;=;12,|r|sumn=N^infty1n
Por hipótese, sum1/n diverge. Logo o somatório à esquerda também diverge. Isto mostra que
sumn=1^inftygl|1a+n,rgr|
é divergente, ou seja, a série original não converge absolutamente. Além disso, para n>= N todos os termos 1/(a+n,r) têm sinal constante, então a soma parcial não se estabiliza e a série diverge de fato.

Resposta

A série
sumn=1^infty1a+n,r
é divergente.

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