Mostre que
sumn=1^infty 1(a+n)(a+n+1)=1a+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumn=1^infty 1(a+n)(a+n+1)
converge e que seu valor é 1a+1. O conteúdo usado aqui é o de séries telescópicas, que requer decompor cada termo em frações parciais e observar cancelamentos.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
1(a+n)(a+n+1) = Aa+n + Ba+n+1
Multiplicando ambos os lados por (a+n)(a+n+1) obtemos
1 = A,(a+n+1) + B,(a+n)
Para todos n, isto implica
A + B = 0 e A = 1
Logo A=1 e B=-1, ou seja
1(a+n)(a+n+1) = 1a+n - 1a+n+1

Passo 3

Defina a soma parcial
SN = sumn=1^N 1(a+n)(a+n+1)
Usando a decomposição, temos
SN = sumn=1^Nl(1a+n - 1a+n+1r)
Observe que na soma interna quase todos os termos se cancelam, pois
1a+1 - 1a+2 + 1a+2 - 1a+3 + cdots + 1a+N - 1a+N+1 = 1a+1 - 1a+N+1
Portanto
SN = 1a+1 - 1a+N+1

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, fazemos Ntoinfty. Como limNtoinfty1a+N+1=0, segue que
sumn=1^infty1(a+n)(a+n+1) = limNtoinfty SN = 1a+1

Resposta

sumn=1^infty1(a+n)(a+n+1) = 1a+1

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