Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série infinita
converge e que seu valor é
. O conteúdo usado aqui é o de séries telescópicas, que requer decompor cada termo em frações parciais e observar cancelamentos.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para todos
, isto implica
Logo
e
, ou seja
Passo 3
Defina a soma parcial
Usando a decomposição, temos
Observe que na soma interna quase todos os termos se cancelam, pois
Portanto
Passo 4
Para obter a soma da série infinita, fazemos
. Como
, segue que