Obtenha a reduzida da série
e mostre que seu limite (soma da série) é 1 .
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
O conteúdo principal aqui é séries telescópicas e decomposição em frações parciais. Para resolver, vamos: (i) decompor o termo geral em frações simples; (ii) somar as
primeiras parcelas; (iii) passar ao limite quando
.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
obtém-se
Comparando coeficientes em
e termo independente:
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Passo 3
Definimos a soma parcial
Escrevendo os primeiros termos:
Observa-se que todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
Passo 4
Para obter a soma da série, tomamos o limite de
quando
:
Resposta
A soma da série
é
.