Obtenha a reduzida da série
sumn=1^infty 1n(n+1)
e mostre que seu limite (soma da série) é 1 .

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=1^infty 1n(n+1)
O conteúdo principal aqui é séries telescópicas e decomposição em frações parciais. Para resolver, vamos: (i) decompor o termo geral em frações simples; (ii) somar as N primeiras parcelas; (iii) passar ao limite quando Ntoinfty.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando por n(n+1) obtém-se
A(n+1) + Bn = 1
Comparando coeficientes em n e termo independente:
A + B = 0, A = 1 ;Longrightarrow; B = -1
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1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N 1n(n+1) = sumn=1^N l(1n - 1n+1r)
Escrevendo os primeiros termos:
SN = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + cdots + l(tfrac1N - tfrac1N+1r)
Observa-se que todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Para obter a soma da série, tomamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = limNtoinftyl(1 - tfrac1N+1r) = 1 - 0 = 1

Resposta

A soma da série sumn=1^infty1n(n+1) é 1.

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