Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor
da matriz
, denotado por
, o número de autovetores associados a esse autovalor
. No caso em que
, onde
é uma matriz inversível e
é uma matriz triangular, a multiplicidade algébrica de
, que representaremos por
, será o número de vezes que
aparece ao longo da diagonal de
. Seja
uma matriz
em blocos onde
e
são matrizes
. Sabe-se que
é a matriz nula. Sejam
o único autovalor de
e
o único autovalor de
. Considere as afirmações
I.
é uma matriz diagonal.
II.
é diagonalizável.
III.
não é diagonalizável.
Assinale a afirmação incorreta dentro do contexto do enunciado:
a. Se
, então
é verdade.
b. Se
e
são rotações de
, então III é verdade.
c. Se III é verdade, então
e
são blocos de Jordan.
d. Se II é verdade, então I é verdade.
e. Se II é verdade, então
I.
II.
III.
a. Se
b. Se
c. Se III é verdade, então
d. Se II é verdade, então I é verdade.
e. Se II é verdade, então
Passo 1
O enunciado fala de
onde
e
são matrizes
cada uma com um único autovalor
ou
. A multiplicidade algébrica de cada autovalor em seu bloco vale 2, e a multiplicidade geométrica varia entre 1 e 2. Queremos avaliar quais afirmações I, II, III e os itens (a)–(e) estão corretos, e identificar a única incorreta.]
Passo 2
Item (a): “Se
, então I é verdade.”
Se cada bloco tem multiplicidade geométrica 2 com um único autovalor de alg. mult. 2, então cada bloco é diagonalizável e, por ter raiz única, vira matriz escalar ,
. Logo
Se cada bloco tem multiplicidade geométrica 2 com um único autovalor de alg. mult. 2, então cada bloco é diagonalizável e, por ter raiz única, vira matriz escalar
que é diagonal. Portanto (a) é correta.
Passo 3
Item (b): “Se
e
são rotações de
, então III é verdade.”
Num contexto real, matriz de rotação em não tem autovalores reais nem autovetores reais, logo não é diagonalizável sobre
. Assim
também não é diagonalizável real, e III (“
não é diagonalizável”) é verdadeira nesse cenário. Portanto (b) é correta.
Num contexto real, matriz de rotação em
Passo 4
Item (c): “Se III é verdade, então
e
são blocos de Jordan.”
Para não ser diagonalizável basta que pelo menos um dos blocos
ou
não seja diagonalizável. Não é necessário que ambos sejam blocos de Jordan. Logo (c) é incorreta.
Para
Passo 5
Item (d): “Se II é verdade, então I é verdade.”
II diz que é diagonalizável. Então cada bloco
e
é diagonalizável. Mas, como cada um tem um único autovalor de alg. mult. 2, a única forma de diagonalizá-los é transformá-los em escalares (blocos
repetidos), isto é,
,
. Logo
fica diagonal. Assim (d) é correta.
II diz que
Passo 6
Item (e): “Se II é verdade, então
.”
Pela definição algébrica, cada bloco com um único autovalor já tem
e
, independentemente de diagonalizabilidade. Então, sob as hipóteses do enunciado, (e) também é correta.
Pela definição algébrica, cada bloco
Resposta
c. Se III é verdade, então
e
são blocos de Jordan.