Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda da matriz M, denotado por \mathbf{m g}(\lambda), o número de autovetores associados a esse autovalor \lambda. No caso em que M=P Q P^{-1}, onde P é uma matriz inversível e Q é uma matriz triangular, a multiplicidade algébrica de \lambda, que representaremos por \mathbf{m a}(\lambda), será o número de vezes que \lambda aparece ao longo da diagonal de Q. Seja M=\left[\begin{array}{cc}A & \mathcal{O} \\\ \mathcal{O} & B\end{array}\right] uma matriz 4 \times 4 em blocos onde A, B e \mathcal{O} são matrizes 2 \times 2. Sabe-se que \mathcal{O} é a matriz nula. Sejam \lambda_{A} o único autovalor de A e \lambda_{B} o único autovalor de B. Considere as afirmações
I. M é uma matriz diagonal.
II. M é diagonalizável.
III. M não é diagonalizável.
Assinale a afirmação incorreta dentro do contexto do enunciado:
a. Se \mathbf{m g}\left(\lambda_{A}\right)=\mathbf{m g}\left(\lambda_{B}\right)=2, então \mathbf{I} é verdade.
b. Se A e B são rotações de 45^{\circ}, então III é verdade.
c. Se III é verdade, então A e B são blocos de Jordan.
d. Se II é verdade, então I é verdade.
e. Se II é verdade, então \mathbf{m a}\left(\lambda_{A}\right)=\mathbf{m a}\left(\lambda_{B}\right)=2\.

Passo 1

O enunciado fala de
M=\begin{pmatrix}A & \mathcal O\\[6pt]\mathcal O & B\end{pmatrix},
onde A e B são matrizes 2\times2 cada uma com um único autovalor \lambda_A ou \lambda_B. A multiplicidade algébrica de cada autovalor em seu bloco vale 2, e a multiplicidade geométrica varia entre 1 e 2. Queremos avaliar quais afirmações I, II, III e os itens (a)–(e) estão corretos, e identificar a única incorreta.]

Passo 2

Item (a): “Se \mathbf{m g}(\lambda_A)=\mathbf{m g}(\lambda_B)=2, então I é verdade.”
Se cada bloco tem multiplicidade geométrica 2 com um único autovalor de alg. mult. 2, então cada bloco é diagonalizável e, por ter raiz única, vira matriz escalar A=\lambda_A I_2, B=\lambda_B I_2. Logo
M=\operatorname{diag}(\lambda_A,\lambda_A,\lambda_B,\lambda_B),
que é diagonal. Portanto (a) é correta.

Passo 3

Item (b): “Se A e B são rotações de 45^\circ, então III é verdade.”
Num contexto real, matriz de rotação em \Bbb R^2 não tem autovalores reais nem autovetores reais, logo não é diagonalizável sobre \Bbb R. Assim M também não é diagonalizável real, e III (“ M não é diagonalizável”) é verdadeira nesse cenário. Portanto (b) é correta.

Passo 4

Item (c): “Se III é verdade, então A e B são blocos de Jordan.”
Para M não ser diagonalizável basta que pelo menos um dos blocos A ou B não seja diagonalizável. Não é necessário que ambos sejam blocos de Jordan. Logo (c) é incorreta.

Passo 5

Item (d): “Se II é verdade, então I é verdade.”
II diz que M é diagonalizável. Então cada bloco A e B é diagonalizável. Mas, como cada um tem um único autovalor de alg. mult. 2, a única forma de diagonalizá-los é transformá-los em escalares (blocos 1\times1 repetidos), isto é, A=\lambda_A I_2, B=\lambda_B I_2. Logo M fica diagonal. Assim (d) é correta.

Passo 6

Item (e): “Se II é verdade, então \mathbf{m a}(\lambda_A)=\mathbf{m a}(\lambda_B)=2.”
Pela definição algébrica, cada bloco 2\times2 com um único autovalor já tem \mathbf{m a}(\lambda_A)=2 e \mathbf{m a}(\lambda_B)=2, independentemente de diagonalizabilidade. Então, sob as hipóteses do enunciado, (e) também é correta.

Resposta

c. Se III é verdade, então A e B são blocos de Jordan.

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