Muitas vezes, uma Transformação Linear (TL) é dada da seguinte forma
T(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)=(\underbrace{3 x+2 y-4 z}_{\boldsymbol{s}}, \underbrace{x-5 y+3 z}_{\boldsymbol{t}})
Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( x, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de u=[1,-3,2] na base \mathcal{A}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as coordenadas do vetor \boldsymbol{u}=[1,-3,2] em relação à base \mathcal{A}=\{[1,1,1],\,[1,1,0],\,[1,0,0]\}.
Aqui vamos usar o fato de que, em uma base, todo vetor se escreve como combinação linear dos vetores da base e, em seguida, igualar componentes para achar os coeficientes.

Passo 2

Denotemos os vetores da base por \boldsymbol{v}_1=[1,1,1], \boldsymbol{v}_2=[1,1,0] e \boldsymbol{v}_3=[1,0,0].
Procuramos escalares a,b,c tais que
a\,\boldsymbol{v}_1 \;+\; b\,\boldsymbol{v}_2 \;+\; c\,\boldsymbol{v}_3 \;=\; [1,-3,2].
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} a + b + c = 1,\\\ a + b = -3,\\\ a = 2. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação vem a=2.
  2. Substituindo na segunda:
    2 + b = -3 b=-5.
  3. Substituindo a e b na primeira:
    2 + (-5) + c = 1 c=4.

Resposta

As coordenadas de \boldsymbol{u} na base \mathcal{A} são
\begin{bmatrix} 2\\\\ -5\\\\ 4 \end{bmatrix}_{\mathcal{A}}.

Exercícios relacionados