Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( x, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Mostre que \mathcal{A} e \mathcal{B} são bases de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2} respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} é base de \mathbb{R}^3
e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\} é base de \mathbb{R}^2.
Em geral, num espaço vetorial de dimensão n, um conjunto com n vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (ou, equivalentemente, gerar todo o espaço).
Passo 2
Verificamos que \mathcal{A}\) tem 3 vetores em \(\mathbb{R}^3\) e checamos a independência linear. Seja
\[\alpha[1,1,1]+\beta[1,1,0]+\gamma[1,0,0]=[0,0,0].
Da terceira equação vem \alpha=0\]. Substituindo na segunda obtém-se \(\beta=0. Então da primeira segue \gamma=0. Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes. Logo, \mathcal{A} é base de \mathbb{R}^3.
Passo 3
Verificamos que \mathcal{B}\) tem 2 vetores em \(\mathbb{R}^2\) e checamos a independência linear. Seja
\[a[1,3]+b[2,5]=[0,0].
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+2b=0,\\\\ 3a+5b=0. \end{cases}
Da primeira equação a=-2b\]. Substituindo na segunda vem
\[3(-2b)+5b=-6b+5b=-b=0\implies b=0,\]
logo \(a=0. Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes. Então \mathcal{B} é base de \mathbb{R}^2.
Resposta
\mathcal{A} é base de \mathbb{R}^3 e \mathcal{B} é base de \mathbb{R}^2.