A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391 apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio máximo?
(a) 0.419
(b) 0.175
© 0.297
(d) 0.581
(e) 0.825
(a) 0.419
(b) 0.175
© 0.297
(d) 0.581
(e) 0.825
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma aposta na Mega Sena com uma chance de ganhar de 1 em 50.063.860. No total, rolaram 254.556.391 apostas. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas ganharem o prêmio máximo? Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a probabilidade de sucesso individual, que aqui é ganhar a aposta. Isso é dado por:
Passo 3
Depois, temos o número total de apostas, que é:
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de exatamente 5 ganhos, então $ k = 5 $. Para calcular isso, usamos a fórmula da distribuição binomial:
Onde $ C(n, k) $ é a combinação de n itens tomados k a k.
Passo 5
Calculando $ C(n, k) $:
Esse valor é gigante, então normalmente a gente usa aproximações. Como p é muito pequeno e n é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson.
Passo 6
A média ($ \lambda $) da distribuição de Poisson é:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da distribuição de Poisson para $ k = 5 $:
Onde $ e $ é aproximadamente 2.71828 e $ 5! = 120 $.
Passo 8
Substituindo os valores:
Calculando:
Então:
Resposta
A probabilidade de exatamente 5 apostadores ganharem o prêmio máximo é 0.175.