A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391 apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 5 apostadores ganhassem o prêmio máximo?
(a) 0.419
(b) 0.175
© 0.297
(d) 0.581
(e) 0.825

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma aposta na Mega Sena com uma chance de ganhar de 1 em 50.063.860. No total, rolaram 254.556.391 apostas. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas ganharem o prêmio máximo? Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a probabilidade de sucesso individual, que aqui é ganhar a aposta. Isso é dado por:
p = 150.063.860

Passo 3

Depois, temos o número total de apostas, que é:
n = 254.556.391

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de exatamente 5 ganhos, então $ k = 5 $. Para calcular isso, usamos a fórmula da distribuição binomial:
k = 5
Onde $ C(n, k) $ é a combinação de n itens tomados k a k.

Passo 5

Calculando $ C(n, k) $:
C(n, k)
Esse valor é gigante, então normalmente a gente usa aproximações. Como p é muito pequeno e n é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson.

Passo 6

A média ($ \lambda $) da distribuição de Poisson é:
lambda

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da distribuição de Poisson para $ k = 5 $:
k = 5
Onde $ e $ é aproximadamente 2.71828 e $ 5! = 120 $.

Passo 8

Substituindo os valores:
P(X = 5) = e^-5.087 times 5.087^5120
Calculando:
e^-5.087 approx 0.0062
5.087^5 approx 3395
Então:
P(X = 5) approx 0.0062 times 3395120 approx 0.175

Resposta

A probabilidade de exatamente 5 apostadores ganharem o prêmio máximo é 0.175.

Exercícios relacionados