O tempo de cada atendimento no caixa de um banco é exponencialmente distribuido com média de 17 minutos. O banco tem apenas 1 caixa funcionando e você é o próximo da fila, sendo que o último cliente foi chamado há 30 minutos. Suponha que, para não perder seu compromisso, você precisa ser chamado em, no máximo, mais 14 minutos. Considerando que você não desistirá da fila, qual a probabilidade de você conseguir ir ao compromisso?
(a) 0.925
(b) 0.829
© 1.000
(d) 0.561
(e) 0.439

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cenário envolvendo filas em um banco, onde o tempo de atendimento no caixa segue uma distribuição exponencial com média de 17 minutos. Você está na fila para ser atendido, e o último cliente começou a ser atendido há 30 minutos. Para não perder seu compromisso, você precisa ser chamado em, no máximo, mais 14 minutos. Queremos descobrir qual a probabilidade de isso acontecer. Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados à distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o tempo de atendimento no caixa é exponencialmente distribuído com média de 17 minutos.
A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
f(t) = lambda e^-lambda t
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa de atendimento, que é o inverso da média.
  • $ t $ é o tempo.
Como a média ($ \frac{1}{\lambda} $) é 17 minutos, temos:
lambda

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de ser atendido em, no máximo, mais 14 minutos. Isso corresponde à função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial, que nos dá a probabilidade de que o tempo de atendimento seja menor ou igual a um determinado valor.
A CDF da distribuição exponencial é:
F(t) = 1 - e^-lambda t
Substituindo $ \lambda $ e $ t = 14 $ minutos:
lambda

Passo 4

Vamos calcular o valor dentro do expoente primeiro:
-117 times 14 = -1417 approx -0,8235
Agora, vamos calcular $ e^{-0,8235} $:
e^-0,8235
Subtraindo de 1:
e^-0,8235 approx 0,438

Resposta

A probabilidade de você conseguir ser atendido em, no máximo, mais 14 minutos é aproximadamente 0,561, que corresponde à alternativa (d) 0.561.

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