A chance de que um bit transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja a v.a. X o número de bits com erro nos próximos quatro bits transmitidos.
Determine a função de distribuição acumulada de X, F(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de erro ao transmitir bits em um canal digital. Temos que a chance de um bit ser recebido com erro é de 10% (ou 0,1). A gente vai considerar que cada transmissão é independente, ou seja, o erro em um bit não afeta os outros. A variável aleatória $ X $ representa o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. Nosso objetivo aqui é determinar a função de distribuição acumulada de $ X $, que é $ F(X) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ X $ segue uma distribuição binomial. Isso porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (4 bits), cada uma com dois resultados possíveis (erro ou não erro), e a probabilidade de sucesso (erro) é a mesma em cada tentativa.
A distribuição binomial é descrita pela fórmula:
X
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (neste caso, 4),
  • $ k $ é o número de sucessos (erros),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,1),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade para cada valor possível de $ X $, que pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4 erros.
  1. Para $ X = 0 $:
X
  1. Para $ X = 1 $:
X = 0
  1. Para $ X = 2 $:
P(X = 0) = binom40 (0,1)^0 (0,9)^4 = 1 times 1 times 0,6561 = 0,6561
  1. Para $ X = 3 $:
X = 1
  1. Para $ X = 4 $:
P(X = 1) = binom41 (0,1)^1 (0,9)^3 = 4 times 0,1 times 0,729 = 0,2916

Passo 4

A função de distribuição acumulada $ F(X) $ nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ k $. Ou seja:
F(X)
Vamos calcular $ F(X) $ para cada valor de $ k $ de 0 a 4.
  1. Para $ k = 0 $:
X
  1. Para $ k = 1 $:
k
  1. Para $ k = 2 $:
F(X) = P(X <= k) = sumi=0^k P(X = i)
  1. Para $ k = 3 $:
F(X)
  1. Para $ k = 4 $:
k

Resposta

A função de distribuição acumulada de $ X $, $ F(X) $, é dada por:
X
Isso significa que, por exemplo, a probabilidade de ter até 2 erros nos próximos 4 bits transmitidos é de 99,63%.

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