A chance de que um bit transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja a v.a.
o número de bits com erro nos próximos quatro bits transmitidos.
Determine a função de distribuição acumulada de
.
Determine a função de distribuição acumulada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de erro ao transmitir bits em um canal digital. Temos que a chance de um bit ser recebido com erro é de 10% (ou 0,1). A gente vai considerar que cada transmissão é independente, ou seja, o erro em um bit não afeta os outros. A variável aleatória $ X $ representa o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. Nosso objetivo aqui é determinar a função de distribuição acumulada de $ X $, que é $ F(X) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ X $ segue uma distribuição binomial. Isso porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (4 bits), cada uma com dois resultados possíveis (erro ou não erro), e a probabilidade de sucesso (erro) é a mesma em cada tentativa.
A distribuição binomial é descrita pela fórmula:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas (neste caso, 4),
- $ k $ é o número de sucessos (erros),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,1),
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade para cada valor possível de $ X $, que pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4 erros.
- Para $ X = 0 $:
- Para $ X = 1 $:
- Para $ X = 2 $:
- Para $ X = 3 $:
- Para $ X = 4 $:
Passo 4
A função de distribuição acumulada $ F(X) $ nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ k $. Ou seja:
Vamos calcular $ F(X) $ para cada valor de $ k $ de 0 a 4.
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ X $, $ F(X) $, é dada por:
Isso significa que, por exemplo, a probabilidade de ter até 2 erros nos próximos 4 bits transmitidos é de 99,63%.