Questão 3: (9 pontos) Assuma
.
© (4 pontos) Seja
e
, qual percentil
é maior, o de
ou o de
?
© (4 pontos) Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá duas variáveis aleatórias normais: $ X \sim N(2,9) $ e $ Y \sim N(2,4) $. A pergunta é: qual percentil de 25% é maior, o de $ X $ ou o de $ Y $?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal, especificamente como calcular percentis usando a média e o desvio padrão das distribuições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um percentil de 25%. Basicamente, é o valor abaixo do qual 25% dos dados se encontram. Para uma distribuição normal, esse percentil pode ser calculado usando a fórmula:
Onde:
- $ \mu $ é a média da distribuição.
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
- $ Z_{0,25} $ é o valor correspondente ao percentil 25% na distribuição normal padrão $ Z \sim N(0,1) $.
Passo 3
Sabemos que $ Z_{0,25} $ é aproximadamente
. Esse valor é fixo para ambas as distribuições $ X $ e $ Y $ porque estamos falando do mesmo percentil.
Agora, vamos calcular o percentil de 25% para cada uma das distribuições.
Passo 4
Para $ X \sim N(2,9) $:
- Média ($ \mu_X $) = 2
- Desvio padrão ($ \sigma_X $) = $ \sqrt{9} = 3 $
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Para $ Y \sim N(2,4) $:
- Média ($ \mu_Y $) = 2
- Desvio padrão ($ \sigma_Y $) = $ \sqrt{4} = 2 $
Aplicando a fórmula:
Resposta
O percentil de 25% de $ Y $ é maior que o de $ X $. Ou seja, $ Percentil{25%}^Y > Percentil{25%}^X $.