Questão 3: (9 pontos) Assuma Z sim N(0,1).
© (4 pontos) Seja X sim N(2,9) e Y sim N(2,4), qual percentil 25 % é maior, o de X ou o de Y ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá duas variáveis aleatórias normais: $ X \sim N(2,9) $ e $ Y \sim N(2,4) $. A pergunta é: qual percentil de 25% é maior, o de $ X $ ou o de $ Y $?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal, especificamente como calcular percentis usando a média e o desvio padrão das distribuições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um percentil de 25%. Basicamente, é o valor abaixo do qual 25% dos dados se encontram. Para uma distribuição normal, esse percentil pode ser calculado usando a fórmula:
Percentil25% = mu + sigma times Z0,25
Onde:
  • $ \mu $ é a média da distribuição.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.
  • $ Z_{0,25} $ é o valor correspondente ao percentil 25% na distribuição normal padrão $ Z \sim N(0,1) $.

Passo 3

Sabemos que $ Z_{0,25} $ é aproximadamente Z0,25 . Esse valor é fixo para ambas as distribuições $ X $ e $ Y $ porque estamos falando do mesmo percentil.
Agora, vamos calcular o percentil de 25% para cada uma das distribuições.

Passo 4

Para $ X \sim N(2,9) $:
  • Média ($ \mu_X $) = 2
  • Desvio padrão ($ \sigma_X $) = $ \sqrt{9} = 3 $
Aplicando a fórmula:
X sim N(2,9)

Passo 5

Para $ Y \sim N(2,4) $:
  • Média ($ \mu_Y $) = 2
  • Desvio padrão ($ \sigma_Y $) = $ \sqrt{4} = 2 $
Aplicando a fórmula:
Y sim N(2,4)

Resposta

O percentil de 25% de $ Y $ é maior que o de $ X $. Ou seja, $ Percentil{25%}^Y > Percentil{25%}^X $.

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