Questão 4: (8 pontos) Numa certa linha de produção, o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com média de três horas por cada peça. Seja X o tempo em horas para produzir 15 peças.
(b) (5 pontos) Qual a probabilidade de X>72 ? (Dica: Utilize a relação da Gamma com a Poisson e aproxime a Poisson pela normal).

Passo 1

Vamos resolver a Questão 4(b). Temos uma linha de produção onde o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com uma média de três horas por peça. Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo $ X $ para produzir 15 peças seja maior que 72 horas, ou seja, $ P(X > 72) $. Para isso, vamos usar a relação entre a distribuição Gamma e o Poisson e, em seguida, aproximar a distribuição Gamma pela normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, em um processo de Poisson, o tempo total para produzir um certo número de peças segue uma distribuição Gamma. A distribuição Gamma tem dois parâmetros: o número de eventos (neste caso, 15 peças) e a taxa (número médio de eventos por unidade de tempo).
Aqui, a média é de 3 horas por peça, o que significa que a taxa $ \lambda $ é $ \frac{1}{3} $ peças por hora.

Passo 3

Agora, identificamos os parâmetros da distribuição Gamma para o nosso problema:
  • Número de eventos (k): 15 peças
  • Taxa (λ): $ \frac{1}{3} $ peças por hora
A média ($ \mu 13 â \sigma^2 $) da distribuição Gamma são dadas por:
mu
sigma^2

Passo 4

Como o número de eventos $ k = 15 $ é relativamente grande, podemos aproximar a distribuição Gamma pela distribuição normal. Para isso, usamos a média e o desvio padrão calculados:
k = 15
mu = 45 horas

Passo 5

Agora, queremos calcular $ P(X > 72) $. Primeiro, padronizamos o valor usando a fórmula da variável normal padrão $ Z $:
P(X > 72)

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ Z = 2,32 $:
Z = 2,32

Resposta

A probabilidade de que o tempo para produzir 15 peças seja maior que 72 horas é aproximadamente 1,02%.

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