Questão 4: (8 pontos) Numa certa linha de produção, o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com média de três horas por cada peça. Seja
o tempo em horas para produzir 15 peças.
(b) (5 pontos) Qual a probabilidade de
? (Dica: Utilize a relação da Gamma com a Poisson e aproxime a Poisson pela normal).
(b) (5 pontos) Qual a probabilidade de
Passo 1
Vamos resolver a Questão 4(b). Temos uma linha de produção onde o número de peças produzidas segue um processo de Poisson, com uma média de três horas por peça. Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo $ X $ para produzir 15 peças seja maior que 72 horas, ou seja, $ P(X > 72) $. Para isso, vamos usar a relação entre a distribuição Gamma e o Poisson e, em seguida, aproximar a distribuição Gamma pela normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, em um processo de Poisson, o tempo total para produzir um certo número de peças segue uma distribuição Gamma. A distribuição Gamma tem dois parâmetros: o número de eventos (neste caso, 15 peças) e a taxa (número médio de eventos por unidade de tempo).
Aqui, a média é de 3 horas por peça, o que significa que a taxa $ \lambda $ é $ \frac{1}{3} $ peças por hora.
Passo 3
Agora, identificamos os parâmetros da distribuição Gamma para o nosso problema:
- Número de eventos (k): 15 peças
- Taxa (λ): $ \frac{1}{3} $ peças por hora
A média ($ \mu
\sigma^2 $) da distribuição Gamma são dadas por:
Passo 4
Como o número de eventos $ k = 15 $ é relativamente grande, podemos aproximar a distribuição Gamma pela distribuição normal. Para isso, usamos a média e o desvio padrão calculados:
Passo 5
Agora, queremos calcular $ P(X > 72) $. Primeiro, padronizamos o valor usando a fórmula da variável normal padrão $ Z $:
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a $ Z = 2,32 $:
Resposta
A probabilidade de que o tempo para produzir 15 peças seja maior que 72 horas é aproximadamente 1,02%.