Changing temperature along a circle Is there a direction
in which the rate of change of the temperature function
(temperature in degrees Celsius, distance in feet) at
is
? Give reasons for your answer.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de temperatura
e pergunta se existe um vetor unitário
tal que a derivada direcional de
em
seja
. Para isso vamos usar o gradiente de
e a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Em seguida avaliamos em
:
Passo 3
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
em
é
Como
, temos o limite
Passo 4
Calculamos o módulo de
:
Logo
varia entre
e
.
Passo 5
O valor
está fora do intervalo
, pois
. Portanto não existe vetor unitário
que produza derivada direcional
.
Resposta
Não existe tal direção, porque o valor máximo absoluto da derivada direcional é
.