Changing temperature along a circle Is there a direction \mathbf{u} in which the rate of change of the temperature function T(x, y, z)= 2 x y-y z (temperature in degrees Celsius, distance in feet) at P(1,-1,1) is
-3^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{ft} ? Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de temperatura
T(x,y,z)=2xy - yz
e pergunta se existe um vetor unitário \mathbf{u} tal que a derivada direcional de T em P(1,-1,1) seja -3 ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{ft}. Para isso vamos usar o gradiente de T e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T:
\nabla T(x,y,z) = \bigl(\tfrac{\partial T}{\partial x},\,\tfrac{\partial T}{\partial y},\,\tfrac{\partial T}{\partial z}\bigr) = (2y,\;2x - z,\;-y).
Em seguida avaliamos em P(1,-1,1):
\nabla T(1,-1,1) = \bigl(2\cdot(-1),\;2\cdot1 - 1,\;-(-1)\bigr) = (-2,\;1,\;1).

Passo 3

A derivada direcional de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u} em P é
D_{\mathbf{u}}T(P) = \nabla T(P)\cdot \mathbf{u}.
Como \|\mathbf{u}\|=1, temos o limite
-\,\|\nabla T(P)\|\;\le D_{\mathbf{u}}T(P)\le \|\nabla T(P)\|.

Passo 4

Calculamos o módulo de \nabla T(1,-1,1):
\|\nabla T(1,-1,1)\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\approx 2,45.
Logo D_{\mathbf{u}}T(P) varia entre -\sqrt{6} e \sqrt{6}.

Passo 5

O valor -3 está fora do intervalo [-\sqrt{6},\sqrt{6}], pois \sqrt{6}\approx2,45<3. Portanto não existe vetor unitário \mathbf{u} que produza derivada direcional -3.

Resposta

Não existe tal direção, porque o valor máximo absoluto da derivada direcional é \|\nabla T(1,-1,1)\|=\sqrt{6}<3.

Exercícios relacionados