The derivative of f(x, y) at P_{0}(1,2) in the direction of \mathbf{i}+\mathbf{j} is 2 \sqrt{2} and in the direction of -2 \mathbf{j} is -3 . What is the derivative of f in the direction of -\mathbf{i}-2 \mathbf{j} ? Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado dá a derivada direcional de f em P_{0}(1,2) nas direções de \mathbf{i}+\mathbf{j} e de -2\,\mathbf{j}. Queremos a derivada direcional na direção de -\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}. Para isso vamos usar que, em geral, a derivada direcional de f em P_{0} na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P_{0}) \;=\;\nabla f(P_{0})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P_{0})=(f_x(P_{0}),\,f_y(P_{0})).

Passo 2

Para a direção de \mathbf{i}+\mathbf{j} o vetor unitário é
\mathbf{u}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
Como D_{\mathbf{u}_{1}}f(P_{0})=2\sqrt{2}, temos
\nabla f(P_{0})\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=2\sqrt{2}.
Em outras palavras,
\frac{f_x+f_y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad f_x+f_y=4.

Passo 3

Para a direção de -2\,\mathbf{j} o vetor unitário é
\mathbf{u}_{2}=(0,-1),
pois -2\,\mathbf{j} normalizado fica (0,-1). Como D_{\mathbf{u}_{2}}f(P_{0})=-3,
\nabla f(P_{0})\cdot(0,-1)=-3 \quad\Longrightarrow\quad -\,f_y=-3 \quad\Longrightarrow\quad f_y=3.

Passo 4

Substituindo f_y=3 em f_x+f_y=4, obtemos
f_x+3=4 \quad\Longrightarrow\quad f_x=1.
Logo \nabla f(P_{0})=(1,3).

Passo 5

Para a direção de -\mathbf{i}-2\,\mathbf{j} o vetor unitário é
\mathbf{u}_{3}=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,-2).
A derivada direcional é então
D_{\mathbf{u}_{3}}f(P_{0}) =\nabla f(P_{0})\cdot\mathbf{u}_{3} =(1,3)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,-2) =\frac{-1-6}{\sqrt{5}} =-\frac{7}{\sqrt{5}}.

Resposta

-\frac{7}{\sqrt{5}}.

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