Zero directional derivative In what direction is the derivative of f(x, y)=x y+y^{2} at P(3,2) equal to zero?

Passo 1

O enunciado pede a direção em que a derivada direcional de
f(x,y)=x\,y + y^2
no ponto P(3,2) é zero. Vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional para achar essa direção.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P(3,2):
\displaystyle \nabla f(3,2) = \bigl(y,\;x+2y\bigr)\bigl|_{(3,2)} = (2,\;3+2\cdot2) = (2,7).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário
\mathbf{u}=(u_1,u_2) é
D_{\mathbf{u}}f(3,2) = \nabla f(3,2)\cdot\mathbf{u} = 2\,u_1 + 7\,u_2.
Queremos D_{\mathbf{u}}f(3,2)=0, isto é,
2\,u_1 + 7\,u_2 = 0.

Passo 5

Do produto escalar zerado segue
u_1 = -\frac{7}{2}\,u_2.
Como \mathbf{u} é unitário,
u_1^2 + u_2^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-\tfrac{7}{2}u_2\Bigr)^2 + u_2^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{49}{4}u_2^2 + u_2^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{53}{4}u_2^2 = 1.

Passo 6

Da equação anterior obtém-se
u_2^2 = \frac{4}{53} \quad\Longrightarrow\quad u_2 = \pm \frac{2}{\sqrt{53}},
e portanto
u_1 = -\frac{7}{2}\,u_2 = \mp \frac{7}{\sqrt{53}}.
Isso dá duas direções opostas em que a derivada direcional é zero.

Resposta

As direções unitárias em que D_{\mathbf{u}}f(3,2)=0 são
\mathbf{u} = \Bigl(-\tfrac{7}{\sqrt{53}},\,\tfrac{2}{\sqrt{53}}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \mathbf{u} = \Bigl(\tfrac{7}{\sqrt{53}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{53}}\Bigr).

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