The derivative of f(x, y, z) at a point P is greatest in the direction of \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}. In this direction, the value of the derivative is 2 \sqrt{3}.
a. What is \nabla f at P ? Give reasons for your answer.
b. What is the derivative of f at P in the direction of \mathbf{i}+\mathbf{j} ?

Passo 1

O enunciado diz que em P a derivada direcional de f é máxima na direção de \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k} e que esse valor máximo é 2\sqrt{3}.
Conteúdo: derivada direcional e gradiente. Sabemos que
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
que a derivada direcional atinge o valor máximo igual a \lVert\nabla f(P)\rVert quando \mathbf{u} é a direção de \nabla f(P).

Passo 2

Como a derivada máxima vale 2\sqrt{3}, temos
\|\nabla f(P)\|=2\sqrt{3}.
Além disso, essa máxima direção \mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\| coincide com a direção de \nabla f(P). Calculamos
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1+1+(-1)^2}=\sqrt{3},\qquad \mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}).
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\nabla f(P)=\|\nabla f(P)\|\;\mathbf{u} =(2\sqrt{3})\;\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}) =2(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}).

Passo 3

Para a direção \mathbf{i}+\mathbf{j}, tomamos o vetor unitário
\mathbf{u}'=\frac{\mathbf{i}+\mathbf{j}}{\|\mathbf{i}+\mathbf{j}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathbf{i}+\mathbf{j}).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}'}f(P) =\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}' =\bigl[2(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})\bigr]\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathbf{i}+\mathbf{j}) =\frac{1}{\sqrt{2}}(2+2)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.

Resposta

a. \nabla f(P)=2\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}-2\,\mathbf{k}.
b. A derivada de f na direção de \mathbf{i}+\mathbf{j} é 2\sqrt{2}.

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