Zero directional derivative In what directions is the derivative of f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right) at P(1,1) equal to zero?

Passo 1

O enunciado pede em que direções \mathbf{u} a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
no ponto P(1,1) é zero.
Para resolver precisamos usar a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
e depois achar todos os vetores unitários \mathbf{u}=(u_1,u_2) tais que esse produto escalar seja zero.

Passo 2

Calcular \nabla f(x,y) via regra do quociente. Defina
N(x,y)=x^2-y^2,\quad D(x,y)=x^2+y^2,
então
\nabla N=(2x,\,-2y) e \nabla D=(2x,\,2y).
Pela regra do quociente,
\nabla f =\frac{D\,\nabla N - N\,\nabla D}{D^2} =\frac{(x^2+y^2)\,(2x,-2y)\;-\;(x^2-y^2)\,(2x,2y)}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Avalie em P(1,1). Nesse ponto temos N=1^2-1^2=0 e D=1^2+1^2=2. Então
\nabla f(1,1) =\frac{2\,(2,-2) - 0\cdot(2,2)}{2^2} =\frac{(4,-4)}{4} =(1,-1).

Passo 4

A derivada direcional em \mathbf{u}=(u_1,u_2) é
D_{\mathbf{u}}f(1,1) =\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u} =(1,-1)\cdot(u_1,u_2) = u_1 - u_2.
Para que isso seja zero, precisamos de
u_1 - u_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_1 = u_2.

Passo 5

Além de u_1=u_2, \mathbf{u} deve ser unitário:
u_1^2 + u_2^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2u_1^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad u_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}},
e então u_2 tem o mesmo valor.

Resposta

As direções em que a derivada direcional de f em P(1,1) é zero são
\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) \quad\text{e}\quad \mathbf{u} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).

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