Uma chapa de aço, de espessura \mathrm{L}=5 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{K}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. A superficie interna está exposta ao com temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, e a superficie externa com temperatura de -20^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficientes de transferência de calor nas superficies interna e externa são \mathrm{hl}=10 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{20} \mathrm{C} e h2 =40 \mathrm{W} \backslash \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Determine o fluxo de calor e a taxa de fluxo de calor.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o problema pede:\n
  • Espessura da chapa: L=5\\ \mathrm{cm}.\n
  • Condutividade térmica do aço: k=20\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.\n
  • Temperatura do fluido na face interna: T_{\infty,1}=20^\circ\mathrm{C}.\n
  • Temperatura do fluido na face externa: T_{\infty,2}=-20^\circ\mathrm{C}.\n
  • Coeficiente de convecção na face interna: h_1=10\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.\n
  • Coeficiente de convecção na face externa: h_2=40\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.\n
    O que é pedido:\n
  • Determinar o fluxo de calor (geralmente entendido como fluxo por unidade de área, q'', em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).\n
  • Determinar a taxa de fluxo de calor total \dot{Q} (em \mathrm{W}); como a área não foi fornecida, devemos dar a expressão em função da área A e, se desejado, o valor por unidade de área (caso A=1\\ \mathrm{m}^2).\n

Passo 2

Modelo e ideia física (aula curta):\n
  • Quando temos uma parede plana com convecção em ambas as faces, resistências térmicas aparecem em série: resistência convectiva na face interna, resistência de condução através da placa e resistência convectiva na face externa. Cada resistência tem unidades de \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W} quando estamos trabalhando por unidade de área.\n
  • A diferença de temperatura entre os meios (aqui T_{\infty,1} e T_{\infty,2}) é “dividida” pelas resistências. A fórmula geral por unidade de área é:\n
q''=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{R_{conv,1}+R_{cond}+R_{conv,2}}.\n
  • Aqui q'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2). A taxa total de calor é \dot{Q}=q''\cdot A, onde A é a área da parede (se conhecida).

Passo 3

Converter unidades e montar as resistências individuais:\n
  • Converter a espessura para metros: L=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.\n
  • Resistência convectiva por unidade de área na face interna:\n
R_{conv,1}=\frac{1}{h_1}=\frac{1}{10}\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}=0{,}1\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.\n
  • Resistência de condução por unidade de área através da chapa (lei de Fourier para uma placa plana):\n
R_{cond}=\frac{L}{k}=\frac{0{,}05}{20}\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}=0{,}0025\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.\n
  • Resistência convectiva por unidade de área na face externa:\n
R_{conv,2}=\frac{1}{h_2}=\frac{1}{40}\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}=0{,}025\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 4

Somar as resistências para obter a resistência térmica total por unidade de área:\n
R_{tot}=R_{conv,1}+R_{cond}+R_{conv,2}=0{,}1+0{,}0025+0{,}025=0{,}1275\\ \mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a diferença de temperatura disponível:\n
\Delta T = T_{\infty,1}-T_{\infty,2}=20-(-20)=40^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q'':\n
q''=\frac{\Delta T}{R_{tot}}=\frac{40}{0{,}1275}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.\n
Fazendo a divisão:\n
q''\approx 313{,}725490\dots\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.\n
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas):\n
q''\approx 313{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Expressão para a taxa total de calor \dot{Q}:\n
  • Se a área da chapa for A (em \mathrm{m}^2), então\n
\dot{Q}=q''\cdot A\approx 313{,}7\;A\\ \mathrm{W},\n
ou, para A=1\\ \mathrm{m}^2, temos \dot{Q}\approx 313{,}7\\ \mathrm{W}.\n
Dica prática para prova: quando a área não for dada, sempre forneça q'' e escreva \dot{Q}=q''A. Isso mostra que você sabe lidar com a falta dessa informação.

Resposta

q''\approx 313{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\n
\dot{Q}=q''\cdot A\approx 313{,}7\;A\\ \mathrm{W} (onde A é a área em \mathrm{m}^2; para A=1\\ \mathrm{m}^2, \dot{Q}\approx 313{,}7\\ \mathrm{W}).

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