A parede de um caminhảo de refrigeração consiste de duas folhas de aço de 0,25 \mathrm{~cm}, com 0,15 \mathrm{~cm} de lã de vidro no interior ( \mathrm{K}=0,06 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Calcule o fluxo de calor e a temperatura entre a interfaçe açovidro, sendo a temperatura externa de 70^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura interna de 10^{\circ} \mathrm{C}. Dados ( \mathrm{K}_{a, 0}=360 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o fluxo de calor através da parede multilayer e a(s) temperatura(s) na interface entre o aço e a lã de vidro. As informações dadas são:
\;T_{\text{externa}}=70^\circ\mathrm{C}, \;T_{\text{interna}}=10^\circ\mathrm{C}.
Espessuras e condutividades:
\;L_{\text{aço}}=0{,}25\\ \mathrm{cm}=0{,}0025\\ \mathrm{m}ç,
\;L_{\text{lã}}=0{,}15\\ \mathrm{cm}=0{,}0015\\ \mathrm{m}ã,
\;k_{\text{aço}}=360\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}ç (dado),
\;k_{\text{lã}}=0{,}06\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}ã (dado).
A parede tem duas folhas de aço (uma externa e uma interna) com a lã de vidro no meio. Vamos calcular por unidade de área (ou seja, fluxo por metro quadrado).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para condução unidirecional em uma camada plana, a resistência térmica por unidade de área é
r=\frac{L}{k},
onde \;L é a espessura (m) e \;k é a condutividade térmica (W/(m,°C)). A unidade de r é \mathrm{m^2\,^\circ C/W}.
  • Para camadas em série (uma depois da outra), as resistências se somam:
r_{\text{total}}=\sum r_i.
  • O fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial), que vou chamar de \;q'' (W/m²), é dado por:
q''=\frac{\Delta T}{r_{\text{total}}},
onde \;\Delta T=T_{\text{externa}}-T_{\text{interna}}.
  • A temperatura em qualquer interface é obtida aplicando as quedas de temperatura \;\Delta T_i=q''\cdot r_i a partir de um dos lados (externo ou interno).

Passo 3

Calcular as resistências por unidade de área de cada camada (mostrando contas passo a passo):
Resistência de uma folha de aço:
r_{\text{aço}}=\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}=\frac{0{,}0025}{360}=6{,}944444\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}.ççç
Como há duas folhas de aço iguais:
r_{\text{aço,total}}=2\,r_{\text{aço}}=2\cdot6{,}944444\ldots\times10^{-6}=1{,}3888889\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}.çç
Resistência da lã de vidro:
r_{\text{lã}}=\frac{L_{\text{lã}}}{k_{\text{lã}}}=\frac{0{,}0015}{0{,}06}=0{,}025\\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}.ããã

Passo 4

Somamos as resistências para obter a resistência total por unidade de área:
r_{\text{total}}=r_{\text{aço,total}}+r_{\text{lã}}=0{,}025+1{,}3888889\times10^{-5}=0{,}0250138888889\\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}.çã
A diferença de temperatura é
\Delta T=70^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=60^\circ\mathrm{C}.
O fluxo de calor por unidade de área é então
q''=\frac{\Delta T}{r_{\text{total}}}=\frac{60}{0{,}0250138888889}\approx2398{,}6666667\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação rápida: a lã de vidro domina a resistência (0,025 contra 0,0000139 das chapas de aço), por isso o fluxo é grande mas quase todo o gradiente de temperatura acontece na lã.

Passo 5

Agora achamos as temperaturas nas interfaces aço–lã (temos duas interfaces: externa e interna). Primeiro calculamos a queda de temperatura em cada camada.
Queda de temperatura em uma folha de aço:
\Delta T_{\text{aço,uma}}=q''\cdot r_{\text{aço}}=2398{,}6666667\cdot6{,}944444\ldots\times10^{-6}=0{,}0166666667^\circ\mathrm{C}.çç
Queda de temperatura na lã:
\Delta T_{\text{lã}}=q''\cdot r_{\text{lã}}=2398{,}6666667\cdot0{,}025=59{,}966666667^\circ\mathrm{C}.ãã
Verificação (soma das quedas = \;60^\circ\mathrm{C}):
0{,}0166666667+59{,}966666667+0{,}0166666667=60^\circ\mathrm{C}.
Temperatura na interface externa aço–lã (a partir do lado externo 70^\circ\mathrm{C}):
T_{\text{int,externa}}=T_{\text{externa}}-\Delta T_{\text{aço,uma}}=70-0{,}0166666667\approx69{,}9833333333^\circ\mathrm{C}.ç
Temperatura na interface interna aço–lã (a partir do lado interno 10^\circ\mathrm{C}):
T_{\text{int,interna}}=T_{\text{interna}}+\Delta T_{\text{aço,uma}}=10+0{,}0166666667\approx10{,}0166666667^\circ\mathrm{C}.ç
Observação didática curta: em cada interface a temperatura é a mesma do lado do aço e do lado da lã naquele ponto (equilíbrio térmico). Como as chapas de aço têm resistências iguais, as quedas em cada chapa são iguais, por isso as temperaturas dos dois limites da lã são essas duas que calculei; dentro da lã a temperatura varia linearmente entre esses dois valores.

Passo 6

Resumo numérico com unidades e arredondamento razoável para prova:
  • Fluxo de calor por unidade de área \;q''\approx2398{,}7\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Temperaturas nas interfaces aço–lã: externa \approx69{,}983^\circ\mathrm{C} e interna \approx10{,}017^\circ\mathrm{C}.
    Você pode arredondar conforme necessário (por exemplo, 2399\\ \mathrm{W/m^2} e 69{,}98^\circ\mathrm{C}, 10{,}02^\circ\mathrm{C}). Força aí, tá indo bem — a parte complicada é só organizar as resistências; o resto é conta direta.

Resposta

\;q''\approx2398{,}6667\\ \mathrm{W/m^2}
\;T_{\text{interface externa aço–lã}}\approx69{,}9833^\circ\mathrm{C}çã
\;T_{\text{interface interna aço–lã}}\approx10{,}0167^\circ\mathrm{C}çã

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