Uma chapa de metal aquecida está situada no plano de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em é de 100 graus. Suponha que os eixos positivos e apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto .
a) Se o objeto se mover para nordeste, ele aquecerá ou esfriará? E para sudeste? Justifique.
b) Se o objeto se mover na direção do vetor , ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?
c) Se a velocidade com que o objeto se move na direção do item b) é de , calcule a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto .
d) Na direção e sentido de que vetores o objeto deve se mover, a partir de , para que sua temperatura permaneça constante?
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura é inversamente proporcional à distância ao polo de coordenadas . Isso significa que há uma constante tal que, para todo ponto ,
Sabemos também que em vale . A partir daqui vamos () determinar , () obter o gradiente de , e () usar derivadas direcionais para responder às perguntas.
Passo 2
Em a distância é , logo
Portanto
Passo 3
Para trabalhar com taxas de variação, calculamos o gradiente
serve. Exemplos de direções e sentidos: (1,-1) (sudeste) ou (-1,1) (noroeste).
Resposta
a) Para nordeste esfria; para sudeste não varia instantaneamente.
b) Aquece à taxa tfrac1252 graus por unidade de distância.
c) tfracdTdt=tfrac252 graus por segundo.
d) Em qualquer vetor (v1,v2) com v1+v2=0, por exemplo (1,-1) ou (-1,1).