Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (3,4) é de 100 graus. Suponha que os eixos positivos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P0=(2,2).
a) Se o objeto se mover para nordeste, ele aquecerá ou esfriará? E para sudeste? Justifique.
b) Se o objeto se mover na direção do vetor (-1,-1), ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?
c) Se a velocidade com que o objeto se move na direção do item b) é de 15 m / s, calcule a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto P0.
d) Na direção e sentido de que vetores o objeto deve se mover, a partir de P0, para que sua temperatura permaneça constante?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura é inversamente proporcional à distância ao polo de coordenadas (0,0). Isso significa que há uma constante k tal que, para todo ponto (x,y),
T(x,y)=kraizx^2+y^2
Sabemos também que em (3,4) vale T(3,4)=100. A partir daqui vamos ( 1) determinar k, ( 2) obter o gradiente de T, e ( 3) usar derivadas direcionais para responder às perguntas.

Passo 2

Em (3,4) a distância é raiz3^2+4^2=5, logo
100 = T(3,4)=k5 Longrightarrow k=500
Portanto
T(x,y)=500raizx^2+y^2

Passo 3

Para trabalhar com taxas de variação, calculamos o gradiente
nabla T(x,y) =l(partial Tpartial x,,partial Tpartial yr) =l(-500,x,(x^2+y^2)^-tfrac32,;-500,y,(x^2+y^2)^-tfrac32r)
No ponto P0=(2,2) temos r0=raiz2^2+2^2=2raiz2 e
(x^2+y^2)^3/2|(2,2)=(8)^3/2=(2raiz2)^3=16raiz2,
logo
nabla T(2,2) =l(-tfrac500cdot216raiz2,,-tfrac500cdot216raiz2r) =l(-tfrac100016raiz2,,-tfrac100016raiz2r) =l(-tfrac1252raiz2,,-tfrac1252raiz2r)

Passo 4

a) Derivada direcional em direção nordeste: o vetor unitário é
uNE=(1,1)raiz2
Logo
DuNET(2,2) =nabla T(2,2)cdot uNE =l(-tfrac1252raiz2,-tfrac1252raiz2r)cdot(1,1)raiz2 =-1252
Como é negativo, mover-se para nordeste faz a temperatura diminuir (esfria).
Em direção sudeste o vetor unitário é
uSE=(1,-1)raiz2
Então
DuSET(2,2) =nabla T(2,2)cdot uSE =l(-tfrac1252raiz2,-tfrac1252raiz2r)cdot(1,-1)raiz2 =0
Portanto, não há variação instantânea de temperatura (permanece constante, em primeira ordem).

Passo 5

b) Na direção do vetor (-1,-1) o vetor unitário é
u=(-1,-1)raiz2
A derivada direcional é
DuT(2,2) =nabla T(2,2)cdot u =l(-tfrac1252raiz2,-tfrac1252raiz2r)cdot(-1,-1)raiz2 =1252
Como é positivo, mover-se nessa direção faz a temperatura aumentar, à razão tfrac1252 (graus por unidade de comprimento).

Passo 6

c) Se a velocidade ao longo dessa direção é tfrac15 m/s, então
dTdt =DuT(2,2)times15 =1252times15 =12510 =252
Logo a temperatura sobe a tfrac252 ( =12,5) graus por segundo.

Passo 7

d) Para que T permaneça constante, o movimento deve ser ortogonal ao gradiente em P0. Assim, todo vetor (v1,v2) satisfazendo
nabla T(2,2)cdot(v1,v2)=0 Longrightarrow -tfrac1252raiz2,v1-tfrac1252raiz2,v2=0 Longrightarrow v1+v2=0
serve. Exemplos de direções e sentidos:
(1,-1) (sudeste) ou (-1,1) (noroeste).

Resposta

a) Para nordeste esfria; para sudeste não varia instantaneamente.
b) Aquece à taxa tfrac1252 graus por unidade de distância.
c) tfracdTdt=tfrac252 graus por segundo.
d) Em qualquer vetor (v1,v2) com v1+v2=0, por exemplo (1,-1) ou (-1,1).

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