Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se o limite de f em x0 existe e é finito, então f é contínua em x0.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a relação entre “existir limxto x0f(x) e ser contínua em x0”. Aqui o conteúdo é a definição de limite de função em um ponto e a definição de continuidade em um ponto. Para resolver, vamos lembrar o que cada definição exige.

Passo 2

Definição de limite finito: dizemos que
limxto x0f(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que 0<|x-x0|<de<a (com x em Dsetminusx0) então |f(x)-L|<varepsilon.
Definição de continuidade em x0: f é contínua em x0 se
limxto x0f(x)=f(x0)
Ou seja, além de existir o limite finito L, é preciso que esse L coincida com o valor f(x0). Logo, existir um limite finito não garante que L=f(x0).

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contra-exemplo com descontinuidade removível. Defina
f(x)= 0, & xneq 0, 1, & x=0
Então
limxto 0f(x)=0
existe e é finito, mas
f(0)=1neq 0,
logo f não é contínua em 0.

Resposta

A afirmação é falsa.

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