A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional, em cada instante t, à diferença entre a temperatura do corpo T e a temperatura do meio circundante Tm, ou seja,
d Td t=k(T-Tm)
onde k é uma constante negativa e T>Tm.
Uma barra de ferro, previamente aquecida a 1200^circ C, é resfriada em um tanque de água mantida à temperatura constante de 50^circ C. A barra resfria 200^circ C no primeiro minuto. Quanto tempo levará até que a barra resfrie outros 200^circ C ?

Passo 1

O enunciado fala da lei de resfriamento de Newton, que diz que
dTdt=kl(T-Tmr),
com k<0 e T>Tm. Aqui temos Tm=50^circC, T(0)=1200^circC, e sabemos que em t=1 min a barra atinge T(1)=1000^circC. Precisamos achar quanto tempo a mais leva para a temperatura cair de 1000^circC para 800^circC.

Passo 2

Resolvendo a EDO por separação de variáveis, escrevemos
dTT-Tm=k,dt
e, integrando,
lnl|T-Tmr|=kt+C
Exponenciando, a solução geral é
T(t)-Tm=A,e^kt,
onde A=e^C.

Passo 3

Em t=0, T(0)=1200^circC, logo
1200-50 = Acdot e^kcdot0 Longrightarrow A = 1150

Passo 4

Em t=1 min, T(1)=1000^circC, então
1000-50 = 1150,e^kcdot1 Longrightarrow 950 = 1150,e^k Longrightarrow e^k = 9501150 = 1923,
k = ln!l(tfrac1923r)

Passo 5

Queremos t2 tal que T(t2)=800^circC. Então
800-50 = 1150,e^k,t2 Longrightarrow 750 = 1150,e^k,t2 Longrightarrow e^k,t2 = 7501150 = 1523,
t2 = ln!l(tfrac1523r)ln!l(tfrac1923r)

Passo 6

O tempo adicional é De<a t = t2 - 1. Numericamente,
ln!l(tfrac1923r)approx -0,1911, ln!l(tfrac1523r)approx -0,4274,
t2 approx tfrac-0,4274-0,1911approx 2,237min,
De<a t = 2,237 - 1 approx 1,237min

Resposta

Levará aproximadamente 1,24 minutos para resfriar mais 200^circC.

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