5- Uma chapa de metal aquecida está situada no plano
de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em
é de
. Um objeto se encontra no ponto
.
a) Se o objeto se mover na direção do vetor
ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?
b) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que sua temperatura permaneça constante?
c) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que aqueça mais rapidamente?
Qual é a taxa?
d) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que esfrie mais rapidamente?
a) Se o objeto se mover na direção do vetor
b) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que sua temperatura permaneça constante?
c) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que aqueça mais rapidamente?
d) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que esfrie mais rapidamente?
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura
em cada ponto
é inversamente proporcional à distância à origem. Logo existe
tal que
Sabemos também que em
a temperatura é
. Vamos precisar de derivadas parciais para obter o gradiente
e daí calcular derivadas direcionais e determinar máximos, mínimos e direções de nível.
Passo 2
Para achar
usamos
logo
Portanto
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Em
temos
e
. Logo
Portanto
Passo 4
(a) Direção do vetor
. O versor é
A derivada direcional é
Como
, o objeto aquece nessa direção, à taxa de
graus por unidade de deslocamento.
Passo 5
(b) Para manter
constante queremos
, isto é
. Se
então
Uma escolha de versor é
ou o seu oposto
. Movendo-se nessa direção o objeto não muda de temperatura.
Passo 6
(c) A direção de aquecimento mais rápido é a do gradiente
. O versor unitário é
que coincide com
. A taxa máxima de aquecimento é o módulo do gradiente,
Passo 7
(d) A direção de maior resfriamento é o oposto do gradiente, isto é
e a taxa de variação nessa direção é
Resposta
a) O objeto aquece à taxa de
por unidade de deslocamento.
b) Deve mover-se na direção de (ou no sentido oposto) para manter a temperatura constante.
c) Para aquecer mais rápido, mover-se em . A taxa máxima de aquecimento é
por unidade de deslocamento.
d) Para esfriar mais rápido, mover-se em , à taxa de
por unidade de deslocamento.
b) Deve mover-se na direção de
c) Para aquecer mais rápido, mover-se em
d) Para esfriar mais rápido, mover-se em