5- Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (3,4) é de 100^{\circ} C. Um objeto se encontra no ponto (2,2).
a) Se o objeto se mover na direção do vetor (-1,-1) ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?
b) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que sua temperatura permaneça constante?
c) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que aqueça mais rapidamente?
Qual é a taxa?
d) Em qual direção e sentido o objeto deve se mover para que esfrie mais rapidamente?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura T em cada ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância à origem. Logo existe k tal que
T(x,y)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Sabemos também que em (3,4) a temperatura é 100^\circ\mathrm{C}. Vamos precisar de derivadas parciais para obter o gradiente \nabla T e daí calcular derivadas direcionais e determinar máximos, mínimos e direções de nível.

Passo 2

Para achar k usamos
100^\circ\mathrm{C}=T(3,4)=\frac{k}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{k}{5},
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k = 100\cdot 5 = 500.
Portanto
T(x,y)=\frac{500}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial T}{\partial x} =500\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^2+y^2\bigr)^{-1/2} =-\frac{500\,x}{(x^2+y^2)^{3/2}},
\frac{\partial T}{\partial y} =-\frac{500\,y}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Em (2,2) temos x^2+y^2=8 e (x^2+y^2)^{3/2}=8\sqrt{8}=16\sqrt2. Logo
\frac{\partial T}{\partial x}(2,2) =-\frac{500\cdot 2}{16\sqrt2} =-\frac{1000}{16\sqrt2} =-\frac{125\sqrt2}{4},
\frac{\partial T}{\partial y}(2,2) =-\frac{125\sqrt2}{4}.
Portanto
\nabla T(2,2) =\Bigl(-\tfrac{125\sqrt2}{4},\,-\tfrac{125\sqrt2}{4}\Bigr).

Passo 4

(a) Direção do vetor (-1,-1). O versor é
\mathbf u =\frac{(-1,-1)}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}} =\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).
A derivada direcional é
D_{\mathbf u}T =\nabla T(2,2)\cdot \mathbf u =\Bigl(-\tfrac{125\sqrt2}{4},-\tfrac{125\sqrt2}{4}\Bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\Bigr) =2\cdot\frac{125\sqrt2}{4}\cdot\frac1{\sqrt2} =\frac{125}{2}=62{,}5.
Como D_{\mathbf u}T>0, o objeto aquece nessa direção, à taxa de 62{,}5 graus por unidade de deslocamento.

Passo 5

(b) Para manter T constante queremos D_{\mathbf u}T=0, isto é \nabla T\cdot\mathbf u=0. Se \mathbf u=(a,b) então
-\tfrac{125\sqrt2}{4}(a+b)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b=0.
Uma escolha de versor é
\mathbf u=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}},
ou o seu oposto \frac{(-1,1)}{\sqrt2}. Movendo-se nessa direção o objeto não muda de temperatura.

Passo 6

(c) A direção de aquecimento mais rápido é a do gradiente \nabla T(2,2). O versor unitário é
\frac{\nabla T(2,2)}{\|\nabla T(2,2)\|} =\frac{\bigl(-\tfrac{125\sqrt2}{4},-\tfrac{125\sqrt2}{4}\bigr)}{125/2} =\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)
que coincide com (-1,-1)/\sqrt2. A taxa máxima de aquecimento é o módulo do gradiente,
\|\nabla T(2,2)\| =\frac{125}{2}=62{,}5.

Passo 7

(d) A direção de maior resfriamento é o oposto do gradiente, isto é
\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)
e a taxa de variação nessa direção é
-\|\nabla T(2,2)\|=-62{,}5.

Resposta

a) O objeto aquece à taxa de 62{,}5 ^\circ\mathrm{C} por unidade de deslocamento.
b) Deve mover-se na direção de \bigl(1,-1\bigr)/\sqrt2 (ou no sentido oposto) para manter a temperatura constante.
c) Para aquecer mais rápido, mover-se em \bigl(-1,-1\bigr)/\sqrt2. A taxa máxima de aquecimento é 62{,}5 ^\circ\mathrm{C} por unidade de deslocamento.
d) Para esfriar mais rápido, mover-se em \bigl(1,1\bigr)/\sqrt2, à taxa de -62{,}5 ^\circ\mathrm{C} por unidade de deslocamento.

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