Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
p(x)=e^{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
p(x)=e^{1-x^{2}}
e que indiquemos os intervalos em que a concavidade é voltada para cima ou para baixo. Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda para entender formato, simetria, extremos e concavidade.

Passo 2

Primeiro observamos algumas propriedades qualitativas de p:
– Domínio é todo \mathbb{R}.
– Como e^{1-x^{2}}>0 para todo x, a imagem é (0,\infty).
– Quando x\to\pm\infty, 1-x^{2}\to -\infty e, portanto, p(x)\to0.
– A função é par (pois depende de x^{2}), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
– Em x=0 temos o máximo global, pois p(0)=e^{1} e para x\neq0 o expoente 1-x^{2} é menor que 1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira para confirmar o máximo em x=0 e entender monotonicidade:
p'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{1-x^{2}}\bigr) =e^{1-x^{2}}\cdot(-2x) =-2x\,e^{1-x^{2}}.
Dessa forma p'(x)>0 para x<0 (função crescente à esquerda de zero) e p'(x)<0 para x>0 (função decrescente à direita de zero), confirmando o máximo em x=0.

Passo 4

Para estudar a concavidade, vamos à derivada segunda:
p''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-2x\,e^{1-x^{2}}\bigr) =-2\,e^{1-x^{2}}+(-2x)\,e^{1-x^{2}}\cdot(-2x) =e^{1-x^{2}}\,(4x^{2}-2).

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem onde p''(x)=0, ou seja
4x^{2}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para analisar o sinal de p'':
– Se |x|<\tfrac{1}{\sqrt{2}}, então 4x^{2}-2<0 e p''(x)<0, isto é, concavidade voltada para baixo.
– Se |x|>\tfrac{1}{\sqrt{2}}, então 4x^{2}-2>0 e p''(x)>0, isto é, concavidade voltada para cima.

Resposta

Concavidade para cima nos intervalos
(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\quad\text{e}\quad(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty)
Concavidade para baixo no intervalo
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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