Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
e que indiquemos os intervalos em que a concavidade é voltada para cima ou para baixo. Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda para entender formato, simetria, extremos e concavidade.
Passo 2
Primeiro observamos algumas propriedades qualitativas de
:
– Domínio é todo .
– Como para todo
, a imagem é
.
– Quando ,
e, portanto,
.
– A função é par (pois depende de ), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
– Em temos o máximo global, pois
e para
o expoente
é menor que
.
– Domínio é todo
– Como
– Quando
– A função é par (pois depende de
– Em
Passo 3
Agora calculamos a derivada primeira para confirmar o máximo em
e entender monotonicidade:
Dessa forma
para
(função crescente à esquerda de zero) e
para
(função decrescente à direita de zero), confirmando o máximo em
.
Passo 4
Para estudar a concavidade, vamos à derivada segunda:
Passo 5
Os pontos de inflexão ocorrem onde
, ou seja
Para analisar o sinal de
:
– Se , então
e
, isto é, concavidade voltada para baixo.
– Se , então
e
, isto é, concavidade voltada para cima.
– Se
– Se
Resposta
Concavidade para cima nos intervalos
Concavidade para baixo no intervalo