Questão 1 (4 pontos). Calcule a derivada da seguinte função:
\ln \left(\frac{x+a}{x+b}\right) \quad(a, b \in \mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\ln\!\bigl(\tfrac{x+a}{x+b}\bigr),
logo o conteúdo é derivação de função composta e propriedades de logaritmo. Vamos usar a propriedade de logaritmo e a regra da derivada de \ln.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\ln\!\bigl(\tfrac{x+a}{x+b}\bigr) =\ln(x+a)-\ln(x+b),
o que transforma a função original numa diferença de dois logaritmos mais simples de derivar.

Passo 3

Derivando termo a termo usando \tfrac{d}{dx}\bigl[\ln(g(x))\bigr]=\tfrac{g'(x)}{g(x)}, temos
\frac{d}{dx}\ln(x+a) =\frac{1}{x+a}, \qquad \frac{d}{dx}\ln(x+b) =\frac{1}{x+b}.
Portanto,
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln(x+a)-\ln(x+b)\Bigr] =\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}.

Passo 4

Para simplificar a diferença de frações, fazemos
\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b} =\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} =\frac{b-a}{(x+a)(x+b)}.

Resposta

\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(\tfrac{x+a}{x+b}\bigr) =\frac{b-a}{(x+a)(x+b)}.

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